Equazione dell’iperbole: forme, asintoti e come riconoscerla
8 Settembre 2026 · Mario Lomele
L’equazione dell’iperbole si riconosce da un dettaglio: il segno meno fra i due termini quadratici. È questa differenza rispetto all’ellisse a produrre due rami separati e due rette a cui la curva si avvicina indefinitamente senza mai toccarle, gli asintoti.
L’equazione dell’iperbole come luogo geometrico
L’iperbole è il luogo dei punti del piano per i quali è costante il valore assoluto della differenza delle distanze da due punti fissi, detti fuochi. L’ellisse chiede invece che sia costante la somma: da questa sola differenza discende tutto il resto.
Le due forme canoniche
Fuochi sull’asse x
x²/a² − y²/b² = 1
I rami si aprono a destra e a sinistra. I vertici sono in (±a, 0) e i fuochi in (±c, 0).
Fuochi sull’asse y
x²/a² − y²/b² = −1, oppure equivalentemente y²/b² − x²/a² = 1
I rami si aprono in alto e in basso. I vertici sono in (0, ±b) e i fuochi in (0, ±c).
La regola per orientarsi: l’asse su cui stanno i fuochi è quello del termine positivo. Nell’ellisse conta invece quale denominatore è maggiore; nell’iperbole no, conta il segno.
La relazione fra a, b e c
Per l’iperbole vale c² = a² + b². Anche qui la differenza con l’ellisse, dove c² = a² − b², è sostanziale: nell’iperbole i fuochi sono più lontani dei vertici, non più vicini.
Gli asintoti
Sono la caratteristica distintiva. Per la forma con fuochi sull’asse x le equazioni sono:
y = ± (b/a) x
Un modo semplice per ricavarli senza memorizzare: si sostituisce 1 con 0 nell’equazione canonica e si risolve. Da x²/a² − y²/b² = 0 si ottengono immediatamente le due rette.
Nel disegno conviene tracciare prima il rettangolo di lati 2a e 2b centrato nell’origine: le sue diagonali sono gli asintoti, e i rami dell’iperbole partono dai vertici e si accostano ad esse.
L’eccentricità
e = c / a
Per l’iperbole è sempre maggiore di 1, mentre per l’ellisse è compresa fra 0 e 1 e per la parabola vale esattamente 1. Più l’eccentricità è grande, più i rami sono aperti.
L’iperbole equilatera
Si ha quando a = b. In questo caso gli asintoti sono le bisettrici dei quadranti, cioè y = x e y = −x, e sono perpendicolari fra loro. L’eccentricità vale √2.
Ruotando gli assi di 45 gradi, cioè riferendo l’iperbole equilatera ai propri asintoti, l’equazione assume la forma notissima:
x · y = k
È il grafico della proporzionalità inversa, familiare da molte leggi fisiche: la legge di Boyle sui gas, la relazione fra resistenza e corrente a tensione costante, il rapporto fra velocità e tempo a spazio fissato.
Come riconoscere una conica dall’equazione
Data un’equazione di secondo grado in due variabili senza termine misto:
- coefficienti dei termini quadratici uguali: circonferenza;
- coefficienti diversi ma dello stesso segno: ellisse;
- coefficienti di segno opposto: iperbole;
- una sola variabile al quadrato: parabola.
È il criterio più rapido e risolve da solo molti quesiti a risposta multipla.
Domande frequenti
Come si capisce dove stanno i fuochi?
Sull’asse corrispondente al termine con segno positivo nella forma canonica.
Come si trovano gli asintoti?
Ponendo uguale a zero il primo membro dell’equazione canonica, cioè sostituendo 1 con 0, e risolvendo rispetto a y.
Che relazione lega a, b e c?
c² = a² + b². Diversamente dall’ellisse, i fuochi sono più esterni dei vertici.
Che cos’è l’iperbole equilatera?
Quella con a uguale a b, con asintoti perpendicolari; riferita agli asintoti ha equazione xy = k.
In sintesi
L’iperbole si riconosce dal segno meno fra i termini quadratici, ha due rami, asintoti ottenibili azzerando il termine noto ed eccentricità sempre maggiore di 1. Il caso equilatero, con equazione xy = k, è la proporzionalità inversa che ricorre in tutta la fisica. Sono utili anche le pagine sulla circonferenza goniometrica e sulle proprietà dei logaritmi, insieme ai quiz di matematica della piattaforma Accademia.
Approfondimento esterno: la voce sulle coniche della Treccani le presenta come sezioni del cono.