Circonferenza goniometrica: definizione, seno, coseno e archi
8 Settembre 2026 · Mario Lomele
La circonferenza goniometrica è la circonferenza di raggio 1 con centro nell’origine degli assi. Serve a trasformare le funzioni trigonometriche, nate per i triangoli, in funzioni definite per qualunque angolo: è lo strumento che rende visibili segni, periodicità e simmetrie.
La definizione
Si considera la circonferenza di equazione x² + y² = 1. Un angolo si misura a partire dal semiasse positivo delle ascisse, in senso antiorario se positivo. Al variare dell’angolo, il punto P in cui il secondo lato incontra la circonferenza si sposta lungo di essa.
La scelta del raggio unitario non è casuale: elimina il denominatore dalle definizioni e rende le funzioni trigonometriche coincidenti con le coordinate.
Seno e coseno come coordinate
Per il punto P associato all’angolo α:
- il coseno è l’ascissa di P;
- il seno è l’ordinata di P.
Da questa lettura discende immediatamente che entrambi sono compresi fra −1 e 1: non possono uscire dalla circonferenza. È il controllo più rapido per scartare un risultato assurdo.
La tangente è il rapporto seno su coseno e, geometricamente, l’ordinata del punto in cui il prolungamento del raggio incontra la retta verticale di equazione x = 1. Non esiste quando il coseno è nullo.
La relazione fondamentale
Poiché P appartiene alla circonferenza di raggio 1, le sue coordinate soddisfano l’equazione:
sin²α + cos²α = 1
Non è una formula da memorizzare: è semplicemente il teorema di Pitagora applicato al raggio unitario.
I segni nei quattro quadranti
- primo quadrante, da 0 a 90 gradi: seno positivo, coseno positivo, tangente positiva;
- secondo, da 90 a 180: seno positivo, coseno negativo, tangente negativa;
- terzo, da 180 a 270: seno negativo, coseno negativo, tangente positiva;
- quarto, da 270 a 360: seno negativo, coseno positivo, tangente negativa.
Non serve impararli a memoria: basta guardare in quale quadrante cade il punto e leggere il segno delle sue coordinate.
Gli archi notevoli
I valori da conoscere, in gradi e radianti:
- 0: seno 0, coseno 1;
- 30° = π/6: seno 1/2, coseno √3/2;
- 45° = π/4: seno e coseno entrambi √2/2;
- 60° = π/3: seno √3/2, coseno 1/2;
- 90° = π/2: seno 1, coseno 0.
Una regola mnemonica utile: i seni di 0, 30, 45, 60 e 90 gradi sono le radici di 0, 1, 2, 3 e 4 divise per due. I coseni seguono la stessa sequenza al contrario.
Gradi e radianti
Il radiante è l’angolo che sottende un arco di lunghezza pari al raggio. La conversione si basa su 180° = π rad, quindi:
- da gradi a radianti si moltiplica per π/180;
- da radianti a gradi si moltiplica per 180/π.
Un giro completo è 360 gradi, cioè 2π radianti.
Periodicità e simmetrie
Sulla circonferenza si leggono direttamente:
- la periodicità: seno e coseno hanno periodo 2π, la tangente ha periodo π;
- le simmetrie: il coseno è una funzione pari, cos(−α) = cos α, il seno è dispari, sin(−α) = − sin α;
- gli angoli associati: le relazioni per α + π, π − α, π/2 − α si ricavano guardando dove finisce il punto invece che memorizzando formule.
Per esempio, sin(π/2 − α) = cos α si legge come uno scambio fra ascissa e ordinata dovuto alla simmetria rispetto alla bisettrice.
Domande frequenti
Perché il raggio è 1?
Perché così seno e coseno coincidono con le coordinate del punto, senza dividere per il raggio.
Seno e coseno possono valere 2?
No: sono coordinate di un punto su una circonferenza di raggio 1 e restano sempre fra −1 e 1.
Quando non esiste la tangente?
Quando il coseno è nullo, cioè a 90 e 270 gradi e nei loro multipli dispari di π/2.
Come si convertono i gradi in radianti?
Moltiplicando per π/180, ricordando che un angolo piatto corrisponde a π radianti.
In sintesi
La circonferenza goniometrica trasforma la trigonometria in geometria analitica: seno e coseno diventano coordinate, i segni si leggono dai quadranti, la relazione fondamentale è Pitagora e le formule sugli angoli associati si ricostruiscono guardando la figura. Sono utili anche le pagine sull’equazione dell iperbole e sulle proprietà dei logaritmi, insieme ai quiz di matematica della piattaforma Accademia.
Approfondimento esterno: la voce sulla trigonometria della Treccani raccoglie definizioni e formule principali.