Proprietà dei logaritmi: regole, esempi ed errori da evitare
8 Settembre 2026 · Mario Lomele
Le proprietà dei logaritmi trasformano moltiplicazioni in addizioni e potenze in prodotti: sono nate proprio per semplificare i calcoli. Conoscerle bene serve in matematica, ma anche in chimica per il pH e in fisica per le scale logaritmiche.
Proprietà dei logaritmi: la definizione
Il logaritmo in base a di b è l’esponente da dare ad a per ottenere b:
loga b = c se e solo se ac = b
Le condizioni di esistenza sono tre e vanno verificate sempre: la base deve essere positiva e diversa da 1, l’argomento deve essere strettamente positivo. Non esiste il logaritmo di zero né di un numero negativo.
Le proprietà fondamentali
Logaritmo di un prodotto
loga(x · y) = loga x + loga y
Logaritmo di un quoziente
loga(x / y) = loga x − loga y
Logaritmo di una potenza
loga(xn) = n · loga x
Da qui discende anche il logaritmo di una radice, che si tratta come potenza a esponente frazionario.
Cambiamento di base
loga b = logc b / logc a
È la formula che permette di calcolare qualunque logaritmo con una calcolatrice che dispone solo di base 10 o base e.
I valori notevoli
- loga 1 = 0, perché qualunque base elevata a zero dà uno;
- loga a = 1;
- aloga x = x, perché esponenziale e logaritmo sono funzioni inverse;
- loga(1/x) = − loga x.
Le basi più usate
- base 10, logaritmo decimale, scritto log: si usa per pH, decibel, scala Richter;
- base e, logaritmo naturale, scritto ln: compare in tutti i fenomeni di crescita e decadimento esponenziale;
- base 2: usata in informatica e teoria dell’informazione.
Gli errori più frequenti
Sono sempre gli stessi e vale la pena elencarli come regole negative:
- log(x + y) NON è log x + log y. Il logaritmo di una somma non si spezza: non esiste alcuna proprietà per la somma degli argomenti;
- log(x)/log(y) NON è log(x − y): il quoziente di due logaritmi non è il logaritmo di un quoziente;
- (log x)² NON è 2 log x: l’esponente deve stare sull’argomento, non su tutto il logaritmo;
- dimenticare le condizioni di esistenza quando si risolvono equazioni: le soluzioni che rendono negativo o nullo un argomento vanno scartate;
- invertire il verso della disuguaglianza: nelle disequazioni logaritmiche il verso si conserva se la base è maggiore di 1 e si inverte se la base è compresa fra 0 e 1.
Esempi svolti
- log₂ 32 = 5, perché 2⁵ = 32;
- log 1000 = 3 in base 10;
- log₃ 81 − log₃ 9 = log₃ 9 = 2, applicando la proprietà del quoziente;
- 2 log 5 + log 4 = log 25 + log 4 = log 100 = 2, portando prima il coefficiente a esponente;
- ln(e³) = 3, per la proprietà della potenza e perché ln e = 1.
Applicazioni pratiche
Il pH è definito come −log[H⁺]: una variazione di una unità di pH corrisponde a un fattore dieci nella concentrazione di ioni idrogeno. Il decadimento radioattivo e la farmacocinetica di eliminazione di primo ordine si trattano con il logaritmo naturale. Le scale logaritmiche permettono di rappresentare su un unico grafico grandezze che variano di molti ordini di grandezza.
Domande frequenti
Il logaritmo di una somma si può spezzare?
No. È l’errore più comune: nessuna proprietà consente di trasformare log(x + y).
Perché l’argomento deve essere positivo?
Perché una potenza a base positiva non può mai dare un risultato negativo o nullo.
Come si cambia base?
Dividendo il logaritmo dell’argomento per il logaritmo della base, entrambi calcolati in una base comoda.
Quando si inverte il verso in una disequazione?
Quando la base è compresa fra 0 e 1, perché la funzione logaritmica è decrescente.
In sintesi
Le proprietà dei logaritmi trasformano prodotti in somme, quozienti in differenze e potenze in prodotti, e permettono il cambiamento di base. Le insidie stanno tutte nelle non-proprietà: la somma non si spezza, il quoziente di logaritmi non è il logaritmo del quoziente. Sono utili anche le pagine su equazione dell iperbole e sulle cifre significative, insieme ai quiz di matematica della piattaforma Accademia.
Approfondimento esterno: la voce sui logaritmi della Treccani ne ricostruisce definizione e storia.