Ellisse: formule, fuochi ed eccentricità
14 Agosto 2026 · Mario Lomele
L’ellisse è il luogo dei punti del piano per cui la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi, resta costante. Da questa singola definizione discendono tutte le formule, compresa quella che sembra più arbitraria, cioè la relazione fra i semiassi e la distanza focale.
L’equazione dell’ellisse e i semiassi
Con il centro nell’origine e gli assi coincidenti con quelli cartesiani, l’equazione dell’ellisse è la somma fra il quadrato dell’ascissa diviso il quadrato del semiasse orizzontale e il quadrato dell’ordinata diviso il quadrato del semiasse verticale, uguagliata a uno.
I due denominatori sono i quadrati dei semiassi: quello maggiore si chiama semiasse maggiore, quello minore semiasse minore. L’ellisse interseca gli assi in quattro punti detti vertici, a distanza pari ai semiassi dal centro.
Se i due semiassi sono uguali l’equazione si riduce a quella di una circonferenza: la circonferenza è quindi un caso particolare di ellisse, quello in cui i due fuochi coincidono con il centro.
I fuochi e la relazione fondamentale
I fuochi stanno sempre sull’asse maggiore, simmetrici rispetto al centro. La loro distanza dal centro, chiamata semidistanza focale, si ricava dalla relazione per cui il suo quadrato è la differenza fra il quadrato del semiasse maggiore e il quadrato del semiasse minore.
L’errore più comune è applicare la formula con i due semiassi scambiati, ottenendo un quadrato negativo. Quando succede, il segnale è chiaro: si è preso per maggiore il semiasse che è invece minore, e basta invertirli.
La proprietà che definisce l’ellisse dice che per ogni suo punto la somma delle distanze dai due fuochi vale il doppio del semiasse maggiore. È la formulazione che permette di risolvere molti quesiti senza scrivere l’equazione.
L’eccentricità
L’eccentricità è il rapporto fra la semidistanza focale e il semiasse maggiore, ed è un numero compreso fra zero e uno. Misura quanto l’ellisse è schiacciata: più il valore si avvicina a uno, più la figura è allungata.
Un’eccentricità pari a zero corrisponde alla circonferenza, in cui i fuochi coincidono. Valori prossimi a uno danno ellissi molto affusolate, e il caso limite uguale a uno non è più un’ellisse ma una parabola.
Le orbite dei pianeti sono ellissi di eccentricità piccola, con il Sole in uno dei due fuochi secondo la prima legge di Keplero: la Terra ha un’eccentricità di circa 0,017, quindi la sua orbita è quasi circolare. È un dato che smentisce l’immagine molto ovale dei disegni scolastici.
Area e perimetro
L’area di un’ellisse vale pi greco per il prodotto dei due semiassi. È la generalizzazione naturale dell’area del cerchio, che si ottiene quando i semiassi coincidono e il prodotto diventa il quadrato del raggio.
Il perimetro invece non si esprime con una formula elementare: richiede un integrale ellittico, e nella pratica si usano approssimazioni. È una delle poche grandezze geometriche di base che non ammettono una scrittura chiusa semplice, e i quesiti seri non lo chiedono mai.
Nei problemi conviene ricordare che l’ellisse si ottiene da una circonferenza applicando una dilatazione lungo un asse. Da qui segue immediatamente la formula dell’area, e si capisce anche perché l’ombra circolare di un oggetto illuminato obliquamente sia un’ellisse.
La proprietà focale e le sue applicazioni
Un raggio che parte da un fuoco e si riflette sulla parete dell’ellisse passa necessariamente per l’altro fuoco. È la proprietà focale, e vale sia per la luce sia per il suono.
Su di essa si basano le cosiddette gallerie dei sussurri, stanze a pianta ellittica in cui due persone poste nei fuochi si sentono chiaramente pur parlando a bassa voce. Lo stesso principio è sfruttato in medicina dalla litotrissia, che concentra onde d’urto su un calcolo renale posto in un fuoco.
Nei quiz la proprietà compare quasi sempre travestita da situazione pratica, non da domanda di geometria. Riconoscerla è più utile che ricordare l’equazione, perché rende immediata una risposta che altrimenti richiederebbe calcoli lunghi.
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