Teorema di Pitagora: formula, inverso e applicazioni
14 Agosto 2026 · Mario Lomele
Il teorema di Pitagora è probabilmente la formula più usata dell’intera geometria, e nei test di ammissione compare quasi sempre come passaggio intermedio di un problema che sembra parlare d’altro. Riconoscerlo in fretta vale più che ricordarne la dimostrazione.
La formula del teorema di Pitagora
In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa ha area uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti. In simboli, indicando con c l’ipotenusa e con a e b i cateti, si scrive c2 = a2 + b2.
La condizione essenziale è che il triangolo sia rettangolo: applicare la relazione a un triangolo qualunque è l’errore più comune, e i quesiti a volte lo propongono di proposito omettendo l’angolo retto. Per i triangoli generici serve il teorema del coseno, di cui quello di Pitagora è il caso particolare con angolo di novanta gradi.
Dalla formula si ricavano le due inverse: un cateto è la radice quadrata della differenza fra il quadrato dell’ipotenusa e il quadrato dell’altro cateto. È il calcolo che serve più spesso, perché il dato mancante nei problemi è quasi sempre un cateto.
Le terne pitagoriche
Alcune terne di numeri interi soddisfano la relazione e conviene conoscerle a memoria, perché permettono di rispondere senza calcolare: 3, 4 e 5; 5, 12 e 13; 8, 15 e 17; 7, 24 e 25; 20, 21 e 29.
Ogni multiplo di una terna è ancora una terna: da 3, 4, 5 si ottengono 6, 8, 10 e 9, 12, 15. Riconoscere che i numeri di un problema sono proporzionali a una terna nota fa risparmiare l’estrazione di radice, che a mano è la parte lenta.
Attenzione però a non forzare: il fatto che i numeri siano vicini a una terna non significa che lo siano. Un triangolo di lati 4, 5 e 6 non è rettangolo, per quanto la successione sembri suggerirlo.
Il teorema inverso
Vale anche il ragionamento opposto: se in un triangolo il quadrato del lato maggiore è uguale alla somma dei quadrati degli altri due, allora il triangolo è rettangolo. È il modo più rapido per verificare la natura di un triangolo di cui si conoscono solo le misure.
Il confronto fornisce anche di più. Se il quadrato del lato maggiore è minore della somma degli altri due quadrati il triangolo è acutangolo, se è maggiore è ottusangolo. Con tre numeri e due operazioni si classifica un triangolo senza misurare un solo angolo.
Prima di tutto questo, però, va verificata la disuguaglianza triangolare: ciascun lato deve essere minore della somma degli altri due, altrimenti il triangolo non esiste. È un controllo che alcuni quesiti usano come unica vera domanda, mascherandola da problema di calcolo.
Le applicazioni che tornano più spesso
La diagonale di un quadrato di lato l misura l per radice di due; quella di un rettangolo si ottiene applicando il teorema ai due lati. L’altezza di un triangolo equilatero di lato l vale l per radice di tre, diviso due: si ricava dividendo il triangolo in due metà rettangole.
In geometria solida il teorema si applica due volte per trovare la diagonale di un parallelepipedo: prima sulla base, poi sul triangolo formato dalla diagonale di base e dallo spigolo verticale. Il risultato è la radice della somma dei quadrati delle tre dimensioni.
Nel piano cartesiano la distanza fra due punti non è altro che il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo che ha per cateti le differenze delle ascisse e delle ordinate. È lo stesso principio che regge la definizione di modulo di un vettore.
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