Prodotti notevoli: tutte le formule con esempi
14 Agosto 2026 · Mario Lomele
I prodotti notevoli sono sviluppi algebrici che ricorrono così spesso da meritare di essere riconosciuti a colpo d’occhio. Nei test a tempo servono soprattutto al contrario: non per svolgere un prodotto, ma per scomporre rapidamente un’espressione che altrimenti richiederebbe passaggi lunghi.
Le formule dei prodotti notevoli
Il quadrato di un binomio vale il quadrato del primo termine, più il doppio prodotto dei due, più il quadrato del secondo. Se il binomio è una differenza il doppio prodotto cambia segno, mentre i due quadrati restano positivi: è il punto in cui si sbaglia più spesso.
La differenza di due quadrati si scompone nel prodotto fra la somma e la differenza delle due basi. È il prodotto notevole più redditizio nei quiz, perché trasforma sottrazioni scomode in prodotti immediati: la differenza fra il quadrato di 101 e il quadrato di 99 si calcola a mente come 200 per 2, cioè 400.
Il cubo di un binomio somma vale il cubo del primo, più il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo, più il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo, più il cubo del secondo. Nella differenza i segni si alternano a partire dal positivo.
Somma e differenza di cubi si scompongono invece in un binomio per un trinomio: la somma dà il prodotto fra la somma delle basi e il quadrato del primo meno il prodotto delle basi più il quadrato del secondo. Nella differenza cambiano di segno il binomio iniziale e il termine centrale.
Il quadrato di un trinomio
Elevando al quadrato una somma di tre termini si ottengono i tre quadrati più i doppi prodotti di ogni coppia possibile, che sono tre. La struttura si generalizza: per un polinomio di n termini si sommano gli n quadrati e tutti i doppi prodotti delle coppie.
Riconoscere un quadrato di trinomio è utile anche in senso inverso, per esempio quando un’espressione contiene sei termini di cui tre quadrati perfetti. Verificare che i doppi prodotti tornino è più rapido che tentare scomposizioni alla cieca.
Un caso particolare utile è il trinomio speciale, cioè il quadrato di un binomio: se un trinomio ha due quadrati perfetti e il termine centrale è il loro doppio prodotto, si scompone immediatamente.
Gli errori sui prodotti notevoli che costano punti
Il primo, e di gran lunga il più frequente, è scrivere che il quadrato di una somma è la somma dei quadrati. Dimenticare il doppio prodotto è un errore che nei quiz a risposta multipla trova sempre un distrattore pronto ad accoglierlo.
Il secondo è confondere la differenza di quadrati con la differenza di cubi, che ha una scomposizione completamente diversa. Il terzo è sbagliare i segni nel cubo di una differenza, dove si alternano e non restano costanti.
Il quarto riguarda un caso che non esiste: la somma di due quadrati non è scomponibile nei numeri reali. Quando un quesito propone quella scomposizione fra le opzioni, sta verificando proprio se lo si sa.
Usare i prodotti notevoli per calcolare a mente
Il vantaggio pratico maggiore arriva quando si usano al contrario, per semplificare numeri scomodi. Il quadrato di 98 si calcola come quadrato di 100 meno 2: diecimila, meno il doppio prodotto quattrocento, più quattro, cioè 9604. È più veloce di qualsiasi moltiplicazione in colonna.
La differenza di quadrati permette scorciatoie ancora più nette. Il prodotto 47 per 53 si legge come 50 meno 3 per 50 più 3, quindi 2500 meno 9, cioè 2491. Ogni volta che due fattori sono simmetrici rispetto a un numero tondo, la strada è questa.
Lo stesso principio vale nelle frazioni algebriche: riconoscere una differenza di quadrati al numeratore o al denominatore consente di semplificare invece di sviluppare. Nei quesiti a tempo è la differenza fra dieci secondi e due minuti, e spesso fra rispondere e lasciare in bianco.
Puoi esercitarti con i quiz di matematica e con le simulazioni complete, e ripassare il teorema di Pitagora. Il programma di riferimento è quello del CISIA.