Traiettoria e legge oraria
Definizione
Il concetto fisico di forza nasce per astrazione dall’esperienza quotidiana dello sforzo: quando interagiamo con un corpo, esso può iniziare a muoversi, modificare la propria velocità nel modulo o nella direzione, oppure deformarsi se soggetto a vincoli. In termini generali, si dirà quindi che una forza è una interazione in grado di alterare lo stato di moto di un corpo oppure di produrne la deformazione.
Nel quadro della meccanica classica, riferendosi a sistemi di riferimento inerziali, l’azione complessiva (forza risultante) su un punto materiale di massa \(m\) è legata all’accelerazione \(\vec a\) dalla relazione di Newton \[ \vec F = m\,\vec a, \] mentre per i corpi estesi la stessa interazione può generare sia moto del baricentro sia tensioni interne e deformazioni. La nozione di forza, pertanto, comprende tanto gli effetti dinamici quanto quelli elastici o plastici.
Alcune tipologie ricorrenti di forze sono elencate di seguito:
- Forza peso: per un corpo di massa \(m\) immerso nel campo gravitazionale terrestre, \(\vec P = m\,\vec g\), diretta approssimativamente verso il centro della Terra; l’intensità dipende dal valore locale di \(g\), che varia con latitudine e quota;
- Forze di contatto: reazioni vincolari, attriti, pressioni e spinte dei fluidi, che si manifestano all’interfaccia tra corpi e agiscono secondo le condizioni geometriche e materiali del contatto;
- Forza muscolare: generata dalla contrazione delle fibre, trasmessa alle ossa mediante i tendini; la direzione segue l’asse del muscolo interessato e il punto di applicazione è in prossimità dell’inserzione;
- Forze elastiche: risposta di un elemento deformabile che, per piccole deformazioni, obbedisce alla legge di Hooke \( \vec F = -k\,\Delta \vec x \), con \(k\) costante elastica e \(\Delta \vec x\) deformazione, di verso opposto alla causa deformante;
- Forze elettromagnetiche: interazioni tra cariche e correnti elettriche e campi magnetici, responsabili, ad esempio, dell’attrazione/repulsione tra cariche e dell’azione su un conduttore percorso da corrente in un campo magnetico.
Le forze sono grandezze vettoriali: oltre al modulo, occorre specificarne direzione, verso e, nei problemi di meccanica dei corpi estesi, il punto di applicazione o la linea d’azione. La loro composizione segue le regole del calcolo vettoriale.
Per la misura di una forza si adottano due approcci complementari:
- metodo statico: si deduce la forza dalla deformazione indotta in un elemento elastico noto. Un dinamometro a molla fornisce la misura tramite \(F = k\,\Delta x\) una volta nota la costante elastica \(k\); storicamente la taratura era ricondotta al peso di masse campione (platino‑iridio, Sèvres), mentre oggi si collega direttamente alle unità del Sistema Internazionale e alla tracciabilità metrologica;
- metodo dinamico: si infere la forza osservando la variazione dello stato di moto. Misurando massa e accelerazione, si applica \(F = m\,a\); per esempio, una massa di 2,0 kg soggetta a un’accelerazione di 1,5 m/s² è sottoposta a una forza di 3,0 N.
Nel Sistema Internazionale (SI) l’unità di forza è il newton, definito per via derivata come \[ 1\,\mathrm{N} = 1\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}. \] Dal 2019 il chilogrammo è definito fissando il valore della costante di Planck, garantendo stabilità e universalità alla catena di taratura. Va distinta la massa dal peso: il “chilogrammo‑peso” (o kilogrammo‑forza) non appartiene al SI, implica un valore convenzionale di \(g\) (storicamente 9,80665 m/s²) e dipende dall’ubicazione; per evitare ambiguità si adotta il newton.
Infine, la forza peso fornisce anche un esempio della dipendenza dai vincoli: un corpo appoggiato su un piano non si muove se la reazione vincolare e l’attrito bilanciano la forza gravitazionale, mostrando come l’effetto di una forza dipenda dall’insieme delle interazioni presenti e non solo dalla sua intensità.
La meccanica classica, o newtoniana, descrive il comportamento dei corpi macroscopici a velocità molto inferiori a quella della luce e senza considerare i fenomeni atomici o subatomici, che richiedono rispettivamente la teoria della relatività e la meccanica quantistica. Essa si fonda su tre principi cardine, che di seguito riformuliamo in modo sintetico:
- Principio d’inerzia: un corpo mantiene il proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché una forza esterna non ne modifica lo stato di moto;
- Secondo principio: l’accelerazione istantanea di un corpo è proporzionale e diretta come la risultante delle forze applicate, con costante di proporzionalità pari all’inverso della sua massa, ossia in forma vettoriale \(\mathbf{F} = m \mathbf{a}\), con \(m > 0\);
- Principio di azione e reazione: se un corpo A esercita su B una forza \(\mathbf{F}\), allora B esercita su A una forza \(-\mathbf{F}\), di uguale intensità, stessa direzione e retta d’azione, ma verso opposto.
I primi due principi rendono centrale la questione del sistema di riferimento. Da un lato, quantità come posizione, velocità e accelerazione sono definite sempre rispetto a un riferimento scelto; dall’altro, la validità stessa delle leggi dinamiche dipende dal tipo di riferimento adottato. Un sistema solidale con la Terra, osservato dall’esterno (ad esempio dal Sole), è soggetto alla rotazione terrestre e alla rivoluzione attorno al Sole; di conseguenza, un moto che appare rettilineo e uniforme a un osservatore terrestre non lo è in senso assoluto. Si pone allora la domanda: rispetto a quali riferimenti i corpi obbediscono ai principi di inerzia e al secondo principio?
Newton riconobbe che il principio d’inerzia e la legge \(\mathbf{F} = m \mathbf{a}\) sono validi in sistemi detti inerziali: riferimenti in quiete o in moto traslatorio uniforme rispetto alle stelle “fisse”, la cui posizione relativa sulla volta celeste è approssimativamente immutabile. Per fenomeni confinati a regioni spaziali piccole rispetto alle dimensioni terrestri, il riferimento solidale con il suolo può essere considerato inerziale con ottima approssimazione. Non lo è, invece, un riferimento che ruota (ad esempio una piattaforma rotante), poiché il moto circolare uniforme implica un’accelerazione centripeta. Come si vedrà più avanti, le leggi della dinamica possono essere estese ai riferimenti non inerziali introducendo forze apparenti, come le forze centrifuga e di Coriolis, assenti nei sistemi inerziali.
Le verifiche sperimentali del secondo principio sono estremamente accurate, sia indirettamente sia direttamente. Variando la forza \(\mathbf{F}\) applicata a un dato corpo e misurando l’accelerazione \(\mathbf{a}\) risultante, il rapporto \(F/a\) risulta costante e positivo, indipendente dall’intensità della forza e caratteristico del corpo. Tale costante è proporzionale alla quantità di materia: per volumi diversi della stessa sostanza, essa cresce proporzionalmente al volume. La forma usuale della legge è:
\[ \mathbf{F} = m a \]
La costante \(m\) è detta massa inerziale, o semplicemente massa, e quantifica l’inerzia del corpo alla variazione del suo stato di moto. Storicamente il campione di massa era riferito a un manufatto conservato a Sèvres; oggi, nel Sistema Internazionale, il chilogrammo è definito fissando il valore della costante di Planck, garantendo così una definizione intrinsecamente stabile e indipendente da condizioni ambientali. In ogni caso, la (2.18) consente una definizione operativa della forza: misurando massa e accelerazione si determina il valore di \(\mathbf{F}\).
In termini concettuali, la forza è l’entità fisica capace di modificare la velocità di un corpo. Una variazione di stato di moto corrisponde a un cambiamento vettoriale di velocità \(\Delta \mathbf{v}\) in un intervallo di tempo \(\Delta t\); ne segue che la forza è proporzionale a \(\Delta \mathbf{v}/\Delta t\), ossia all’accelerazione: questa è l’essenza congiunta del principio d’inerzia e del secondo principio. Inversamente, ogniqualvolta si rileva una variazione della velocità, si deduce l’azione di una forza risultante non nulla.
Nel Sistema Internazionale (S.I.) l’unità di forza è il newton (N), definito come la forza che conferisce a una massa di 1 chilogrammo un’accelerazione di 1 metro al secondo quadrato: \(1\,\text{N} = 1\,\text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-2}\). Nel sistema C.G.S. l’unità è la dina (dyn), pari alla forza che imprime a 1 grammo un’accelerazione di 1 centimetro al secondo quadrato. Si ottiene così la corrispondenza: 1 N = 1000 g · 100 cm/s² = 10⁵ dyn.
Il terzo principio ha conseguenze decisive nello studio del moto di sistemi composti da più corpi. In particolare, conduce al teorema di conservazione della quantità di moto. Si definisce quantità di moto di un corpo di massa \(m\) e velocità \(\mathbf{v}\) la grandezza vettoriale:
\[
\mathbf{q} = m v
\]
Un sistema si dice isolato quando su di esso agiscono soltanto forze interne. Il teorema di conservazione afferma che, per un sistema isolato, la quantità di moto totale rimane costante nel tempo. Mostriamo come ciò discenda direttamente dal terzo principio, considerando, per semplicità, due punti materiali A e B (Figura 02.03-01). Se \(\mathbf{F}_{AB}\) è la risultante delle forze interne esercitate da B su A, allora \(\mathbf{F}_{BA} = -\mathbf{F}_{AB}\) è quella esercitata da A su B. Dal secondo principio \[ \mathbf{F} = m a \] e dalla definizione di accelerazione (Formula \[a = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta t}\]) segue:
\[
a_{A} = \frac{\mathbf{F}_{AB}}{m_{A}} = \frac{\Delta v_{A}}{\Delta t},
\quad
a_{B} = \frac{\mathbf{F}_{BA}}{m_{B}} = \frac{\Delta v_{B}}{\Delta t}
\]
e, per il terzo principio,
\[
\mathbf{F}_{AB} + \mathbf{F}_{BA} = 0
\quad \text{per cui:} \quad
m_{A} \Delta v_{A} + m_{B} \Delta v_{B} = 0
\]
cioè \(\Delta \mathbf{q}_{A} + \Delta \mathbf{q}_{B} = \mathbf{0}\), da cui
\[
\Delta (\mathbf{q}_{A} + \mathbf{q}_{B}) = \Delta \mathbf{q}_{\text{totale}} = 0
\]
Questa formula è dunque l’enunciato della conservazione della quantità di moto: le variazioni delle quantità di moto dei singoli corpi si compensano, lasciando invariata quella totale del sistema isolato.
Un esempio concreto è dato da una persona su pattini che, ferma su una pista orizzontale e con attrito trascurabile, lancia in avanti un attrezzo. Prima del lancio la quantità di moto totale è nulla; al momento del lancio l’attrezzo acquista una quantità di moto in avanti e la persona si muove all’indietro con quantità di moto uguale in modulo e opposta in verso, così che la quantità di moto complessiva rimane zero.
La legge di Newton può essere riscritta in termini della quantità di moto:
\[
\mathbf{F} = \frac{\Delta \mathbf{q}}{\Delta t}
\]
Infatti, sostituendo \( \mathbf{a} = \Delta \mathbf{v}/\Delta t \) ed essendo \(m\) costante, si ottiene:
\[
m a = m \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{\Delta (m v)}{\Delta t} = \frac{\Delta \mathbf{q}}{\Delta t}
\]
Segue che, per un sistema isolato, \(\mathbf{q}_{\text{totale}}\) è costante; se agiscono forze esterne, la variazione temporale della quantità di moto totale è uguale alla somma vettoriale delle forze esterne. Questa formulazione, oltre a essere pienamente equivalente a \(\mathbf{F} = m \mathbf{a}\) quando la massa è costante, risulta particolarmente utile in presenza di scambi di massa o interazioni impulsive.
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