Raggio di equilibrio dei vasi
TOPICS
Definizione
Per un condotto cilindrico a parete sottile, uniforme e isotropa, la legge di Laplace che connette la pressione transmurale alla tensione circonferenziale della parete si riduce alla forma per cilindro infinito. Indicando con Δp la differenza di pressione tra lume e ambiente esterno, con τ la tensione elastica per unità di lunghezza e con R il raggio, vale:
\[\Delta p = \frac{\tau}{R},\]
Questa espressione, descrive la condizione di equilibrio tra carico pressorio e risposta meccanica della parete vascolare. Usando la (\Delta p = \frac{\tau}{R}) è possibile trasformare le curve pressione-volume delle (Figura 04.04-01) e (Figura 04.04-02) in corrispondenti curve tensione-raggio \( \tau = \tau(R) \), come illustrato in (Figura 04.04-03).
La lettura delle curve tensione-raggio permette alcune stime fisiologicamente plausibili. Ad esempio:
- Aorta: assumendo un raggio medio di circa 0,5 cm e una pressione transmurale di 100 mmHg, la legge di Laplace fornisce \( \tau \approx \Delta p \, R \), quindi una tensione di ordine \( 6,7 \times 10^{4} \) dyne/cm; tale valore riflette l’elevata sollecitazione circumferenziale tipica dei grandi vasi elastici;
- Vena cava: a parità di raggio, per pressioni transmulari molto più basse, per esempio 5–10 mmHg, si ottengono tensioni dell’ordine di \( 3 \times 10^{3} \)–\( 7 \times 10^{3} \) dyne/cm; la pendenza della curva \( \tau(R) \) aumenta marcatamente oltre un certo raggio, evidenziando il passaggio da un comportamento molto distensibile a uno quasi rigido per reclutamento delle fibre collagene;
- Capillari: con raggio tipico \( R \approx 4 \,\mu\mathrm{m} \) e \( \Delta p \le 25 \) mmHg (circa \( 3,3 \times 10^{4} \) dyne/cm²), la tensione richiesta è piccolissima, \( \tau \approx 13 \) dyne/cm; ciò giustifica la parete sottilissima, priva di strati elastici organizzati.
In termini di elasticità, l’andamento venoso in (Figura 04.04-03) è coerente con una struttura parietale a componenti multiple: uno strato interno altamente cedevole (prevalenza di elastina e matrice amorfa) e una guaina esterna più rigida (elevata frazione di collagene) che limita la dilatazione eccessiva. Questo spiega perché, per piccoli incrementi di raggio, le vene mostrino grande compliance, mentre oltre una soglia diventano repentinamente poco deformabili.
Per determinare il raggio di equilibrio associato a una pressione transmurale assegnata occorre conoscere la legge costitutiva della parete, ossia la curva caratteristica \( \tau = \tau(R) \). In presenza di equilibrio statico, le condizioni sono:
\[\begin{cases}\tau = \tau(R) \\ \tau = \Delta p R.\end{cases}\]
La soluzione grafica del sistema è immediata: per un dato valore di Δp, il raggio d’equilibrio \( R_{E} \) coincide con il punto di intersezione tra la curva costitutiva \( \tau(R) \) e la retta di carico \( \tau = \Delta p \, R \) (Figura 04.04-03). All’aumentare di Δp cresce la pendenza della retta e, di conseguenza, aumenta il raggio d’equilibrio (Figura 04.04-04). In termini meccanici, la transizione da piccole a grandi deformazioni è accompagnata da un incremento del modulo tangenziale, coerente con la progressiva attivazione delle fibre collagene.
Se alla risposta elastica passiva si somma una componente attiva dovuta alla muscolatura liscia, di intensità \( \tau_{a} \), la relazione di equilibrio si modifica come segue:
\[\tau (R) + \tau_A = \Delta p R\]
Una riduzione della pressione transmurale o un incremento della tensione attiva spostano l’intercetta verso raggi più piccoli. In prossimità del tratto molto cedevole della curva \( \tau(R) \) (porzione poco ripida) in (Figura 04.04-04), variazioni anche modeste di Δp o di \( \tau_{a} \) possono indurre un collasso del lume fino alla chiusura completa \( (R \to 0) \), fenomeno alla base del cosiddetto “critical closing pressure”.
Rispetto all’approssimazione di parete rigida, il riconoscimento della distensibilità vasale introduce un raggio d’equilibrio \( R_{E} \) che dipende dal materiale e dal livello pressorio. Poiché, nel range fisiologico, il flusso ematico resta prevalentemente laminare nonostante l’ematocrito e le eterogeneità microscopiche, la legge di Poiseuille mantiene validità se si sostituisce al raggio rigido il raggio d’equilibrio:
\[Q = \frac{\pi R_E^4}{8 \eta \ell} \Delta p.\]
Ne discendono conseguenze rilevanti: piccole variazioni di \( R_{E} \) (dovute a Δp o ad attività della muscolatura liscia) si traducono in grandi variazioni di portata, data la dipendenza quartica da R. Questo quadro si integra naturalmente con l’analisi del moto pulsatile, nella quale la portata \( Q(t) \) varia periodicamente nel tempo.
Ipotesi e note biomeccaniche essenziali
La legge di Laplace per cilindri applicata ai vasi richiede alcune ipotesi standard, utili per l’interpretazione delle (Figura 04.04-03) e (Figura 04.04-04):
- Parete sottile rispetto al raggio, con tensione circonferenziale dominante e distribuita in modo pressoché uniforme;
- Materiale omogeneo e isotropo per piccole deformazioni; per grandi dilatazioni occorre una curva \( \tau(R) \) non lineare che tenga conto di elastina e collagene;
- Pressione transmurale definita come \( \Delta p = p_{\text{lume}} - p_{\text{esterno}} \), con contributo esterno non trascurabile nei distretti compressi o in condizioni patologiche;
- Comportamento quasi statico: gli effetti inerziali e viscoelastici sono limitati nel regime considerato.
Alla luce di tali ipotesi, l’analisi grafica via (\begin{cases}\tau = \tau(R) \\\tau = \Delta p \, R \end{cases}) fornisce una stima robusta del raggio di equilibrio e consente di interpretare fenomeni clinici come dilatazioni progressive (p.es., aneurismi, dove un incremento di R, a Δp dato, aumenta la richiesta di tensione) o, all’opposto, chiusure dinamiche in distretti venosi compressi.
Image Gallery
Image Gallery
Image Gallery
Image Gallery
Image Gallery
Image Gallery
Image Gallery
Image Gallery
Image Gallery
