Propagazione delle onde sonore: pressione sonora
Definizione
In un gas, le forze elastiche agenti sulle particelle (atomi o molecole) generano successioni di compressioni e rarefazioni: la perturbazione oscillatoria si manifesta quindi come un’alternanza di incrementi e decrementi locali di densità e pressione, che si propagano nel mezzo (Figura 04.17-01). Dal punto di vista dinamico ciò implica che il suono produce una variazione istantanea di pressione, che per un’onda armonica elementare segue un’andamento sinusoidale:
\[ \Delta p(t) = \Delta p_o \text{sen} \, (\omega t + \phi) \]
Dove \(\Delta p = p - p_{a}\) è lo scostamento istantaneo della pressione locale p rispetto alla pressione atmosferica \(p_{a}\), e \(\Delta p_{0}\) rappresenta l’ampiezza della perturbazione pressoria.
La funzione \(\Delta p(t)\) è detta pressione sonora istantanea. L’alternanza di compressioni (pressioni relative positive) e rarefazioni (pressioni relative negative) può indurre, ad esempio, la vibrazione di una membrana sottile come il timpano. A fini applicativi è utile collegare pressione sonora e intensità acustica. Sotto l’ipotesi di piccole ampiezze (regime lineare) e di onda piana, risulta che le ampiezze di vibrazione sono legate dalla relazione:
\[ \Delta p_o = A \omega v d. \]
Dove A è l’ampiezza di spostamento (Figura 04.17-02), \(\nu\) è la velocità di propagazione dell’onda nel gas, d è la densità del mezzo e l’ampiezza della velocità particellare vale \(A\,\omega\). È spesso utile introdurre l’impedenza acustica specifica del mezzo, \(Z = \nu d\), così che la diventa \(\Delta p_{0} = Z\,A\,\omega\). Per onde sinusoidali, la pressione efficace (RMS) è \(p_{\mathrm{rms}} = \Delta p_{0}/\sqrt{2}\), grandezza direttamente utilizzata in acustica tecnica.
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L’intensità I di un’onda sonora è la potenza che attraversa l’unità di superficie, misurata in watt/m² (W m⁻²). Dalla (E = E_{k} + U = 0 + \frac{1}{2} \omega^{2} m A^{2} = \frac{1}{2} \omega^{2} m A^{2}), l’energia totale E trasportata da una porzione d’onda risulta:
\[ E = \frac{1}{2} \omega^2 m A^2 = \frac{1}{2} V \omega^2 A^2 d = \frac{1}{2} S v \Delta t d \omega^2 A^2. \]
dove si è posto \(m = d\,V\) e \(V = S\,\nu\,\Delta t\), poiché attraverso la superficie di area S, ortogonale alla direzione di propagazione, nell’intervallo \(\Delta t\) attraversa un volume di altezza \(\nu\,\Delta t\) (Figura 04.17-03). Dividendo la (E = \frac{1}{2} \omega^{2} m A^{2} = \frac{1}{2} V \omega^{2} A^{2} d = \frac{1}{2} S \nu \Delta t \, d \omega^{2} A^{2}) per \(S\,\Delta t\) si ottiene l’intensità:
\[ I = \frac{E}{S \Delta t} = \frac{1}{2} v d \omega^2 A^2. \]
che, usando la (\Delta p_{o} = A \omega \nu d), si esprime in funzione dell’ampiezza di pressione come:
\[ I = \frac{1}{2} \frac{\Delta p_o^2}{v d}. \]
da cui segue immediatamente:
\[ \Delta p_o = \sqrt{2 I v d}. \]
Per una sorgente puntiforme in mezzo omogeneo e isotropo, l’energia si distribuisce su superfici sferiche concentriche; l’intensità è uniforme su ciascuna sfera di raggio r e, per conservazione dell’energia (potenza costante), vale:
\[ I = \frac{E}{4 \pi r^2 \Delta t}, \]
per cui \(I \propto 1/r^{2}\). Ne deriva che per due punti a distanze \(r_{1}\) e \(r_{2}\) dalla stessa sorgente:
\[ \frac{I_1}{I_2} = \frac{r_2^2}{r_1^2}. \]
Esempio applicativo dell’andamento quadratico della distanza: se una sirena industriale produce \(I_{1} = 0,05\) W/m² a \(r_{1} = 2\) m, a quale distanza \(r_{2}\) l’intensità scende a \(I_{2} = 5\cdot 10^{-5}\) W/m²? Dalla (\frac{I_{1}}{I_{2}} \simeq \frac{r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}}), \(r_{2} = r_{1}\sqrt{I_{1}/I_{2}} \approx 2 \sqrt{0,05 / 5\cdot 10^{-5}} \approx 2 \sqrt{1000} \approx 63,2\) m. Questo semplice calcolo quantifica l’effetto della sola divergenza geometrica in campo libero.
La direttività del campo acustico dipende sensibilmente dalla frequenza. Una sorgente con dimensione caratteristica a emette con lobi tanto più stretti quanto maggiore è il parametro adimensionale \(ka = 2\pi a/\lambda\) (con \(\lambda\) lunghezza d’onda). Per \(ka \gg 1\) il fascio si collimata: ciò giustifica l’impiego di ultrasuoni ad alta frequenza per l’imaging ecografico, dove l’onda si comporta approssimativamente come un raggio stretto.
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Si definiscono suoni le onde meccaniche percepibili dall’orecchio umano, con frequenza compresa tra 20 Hz e 20 kHz. Al di sotto di 20 Hz si parla di infrasuoni, al di sopra di 20 kHz di ultrasuoni (Figura 04.17-04). Per entrambe le classi valgono i fenomeni fisici discussi in precedenza: riflessione, rifrazione, interferenza e diffrazione; restano inoltre definite le grandezze fondamentali quali frequenza, lunghezza d’onda, velocità di propagazione, intensità e attenuazione.
Gli infrasuoni, con frequenze indicative da circa 17 Hz fino a 0,001 Hz, si distinguono per la bassa attenuazione e la marcata capacità di aggirare ostacoli e seguire la curvatura terrestre, con propagazione a grande distanza. Esempi rilevanti di sorgenti naturali e antropiche includono:
- fenomeni geofisici (frane, eruzioni, moto ondoso oceanico);
- turbolenze atmosferiche e fronti temporaleschi;
- macchinari di grande taglia e sistemi di ventilazione a bassa frequenza.
Per gli ultrasuoni, la convenzione di 20 kHz separa il regno udibile da quello non udibile. All’aumentare della frequenza cresce la direttività del fascio acustico. Sorgenti ultrasoniche sono presenti in natura (pipistrelli, odontoceti) e vengono prodotte artificialmente per usi diagnostici, terapeutici e industriali.
È possibile generare e rivelare ultrasuoni fino a circa 1 GHz, con lunghezze d’onda dell’ordine del micrometro. Dalla relazione \(\lambda \nu = v\) si ottiene, in aria (\(v \approx 340\) m/s) \(\lambda \approx 0,3\,\mu\)m e in acqua (\(v \approx 1450\) m/s) \(\lambda \approx 1,5\,\mu\)m. A tale scala, comparabile con quella della luce visibile, l’onda si propaga in modo quasi rettilineo, dando luogo a veri e propri raggi sonori e a fasci altamente direzionali.
I generatori ultrasonori per la Medicina e l’Industria coprono intervalli d’intensità tipicamente compresi tra \(10^{-1}\) e 10 W/cm², con frequenze di interesse diagnostico spesso nell’intervallo 1–10 MHz. A scopo illustrativo, impiegando la (I = \frac{1}{2} \frac{\Delta p_{o}^{2}}{\nu d}) in acqua (\(Z = \nu d \approx 1,45 \cdot 10^{6}\) kg·m⁻²·s⁻¹), per un fascio a 2 MHz con intensità \(I = 1\) W/cm² (cioè \(10^{4}\) W/m²) si ottiene un’ampiezza di pressione \(\Delta p_{0} = \sqrt{2\,I\,Z} \approx 1,7 \cdot 10^{5}\) Pa, pari a circa 1,7 atmosfere. Due punti separati da mezza lunghezza d’onda, \(\lambda/2 \approx 0,36\) mm in acqua a 2 MHz, possono sperimentare una differenza istantanea di pressione di circa 3,4 atmosfere. Dal punto di vista dinamico, il gradiente pressorio associato a un’onda piana \(p(x,t)=\Delta p_{0}\sin(kx-\omega t)\) produce un’accelerazione particellare di ampiezza \(a = k\Delta p_{0}/d\); nel caso numerico considerato, \(a \sim 1,5\cdot 10^{5}\,g\). Tali valori chiariscono come fasci ultrasonori intensi possano indurre effetti meccanici marcati e dissipare energia in calore nel materiale attraversato.
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