Onde

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(by Test Ammissione)

Onde

Una via efficace per cogliere la natura dei fenomeni ondulatori consiste nell’osservare sistemi nei quali si trasferisce energia senza trasporto netto di materia. Si consideri una boa vicina alla riva: al passaggio del treno d’onda essa sale e scende, ma non avanza verso la costa. A livello microscopico, le particelle d’acqua oscillano attorno a posizioni di equilibrio, rimanendo mediamente nello stesso intorno. Pertanto, ciò che si propaga non è il mezzo, bensì una perturbazione che si diffonde nel mezzo.

Quando la perturbazione si ripete con regolarità temporale, si parla di fenomeno periodico. In un solido elastico, ad esempio, un impulso meccanico applicato a un’estremità di una sbarra induce compressioni e dilatazioni che si propagano lungo l’asse del solido: dopo un intervallo finito, anche estremità lontane entrano in vibrazione, mentre la sezione iniziale torna in equilibrio (Figura 04.08-01). Se il materiale fosse rigidamente indeformabile, l’intero corpo si muoverebbe come un blocco; l’elasticità, invece, consente il propagarsi della perturbazione con particelle che oscillano intorno all’equilibrio senza migrare da una sezione all’altra.

Un comportamento analogo si osserva in una corda tesa eccitata trasversalmente all’estremità libera: il disturbo si sposta lungo la corda con una velocità definita, mentre i punti del mezzo oscillano perpendicolarmente alla direzione di propagazione (Figura 04.08-02). In un piano liquido, una goccia che cade genera circonferenze concentriche di perturbazione che si allargano dal punto di impatto.

Nei moti periodici le grandezze cinematiche, come spostamento, velocità e accelerazione di una particella, sono funzioni periodiche del tempo. Formalmente si scrive \( f(t) = f(t+T) \), dove \(T\) è il periodo di ripetizione:

\[f(t) = f(t + T),\]

Il periodo \(T\) è il tempo necessario a completare un ciclo (Figura 04.08-03). La frequenza è \( \nu = 1/T \) e misura il numero di cicli al secondo; l’unità del SI è l’hertz (Hz).

Un’onda monocromatica, o armonica, è descrivibile con una funzione sinusoidale che dipende sia dal tempo sia dalla posizione. Una rappresentazione tipica mette in evidenza l’andamento temporale in un punto fissato (Figura 04.08-03) e la dipendenza spaziale a tempo fissato (Figura 04.08-03). In tali condizioni valgono relazioni fondamentali tra grandezze ondulatorie, in particolare tra velocità di propagazione \(v\), lunghezza d’onda \(\lambda\) e frequenza \(\nu\):

\[v = \lambda \nu,\]

La lunghezza d’onda \(\lambda\) è la minima distanza tra due punti in fase, ad esempio due massimi consecutivi del segnale, ed equivale anche allo spazio percorso dall’onda nel tempo di un periodo \(T\) (Figura 04.08-03). È utile introdurre anche la pulsazione \( \omega = 2\pi \nu \) e il numero d’onda \( k = 2\pi/\lambda \): per un’onda armonica una forma esplicita è \( \psi(x,t) = A \cos(kx - \omega t + \phi_{0}) \), dalla quale segue la velocità di fase \( v = \omega/k \), coerente con la (\[v = \lambda \nu,\]).

I fenomeni ondulatori possono coinvolgere non solo spostamenti meccanici, ma anche campi fisici che oscillano nel tempo. Un caso rilevante è quello delle onde elettromagnetiche, nelle quali i vettori campo elettrico e magnetico variano periodicamente e si autosostengono nella propagazione (Figura 04.08-07). La luce è un esempio di radiazione elettromagnetica e manifesta caratteristiche ondulatorie analoghe, come interferenza e diffrazione.

La classificazione principale distingue secondo l’orientamento della vibrazione rispetto alla direzione di propagazione:

onde trasversali, in cui le oscillazioni sono perpendicolari alla direzione di avanzamento (Figura 04.08-04); esempi: la corda tesa (Figura 04.08-07) e (Figura 04.08-02), le increspature superficiali nei liquidi, le onde elettromagnetiche (Figura 04.08-07);
onde longitudinali, con vibrazione parallela alla direzione di propagazione (Figura 04.08-04); esempi: compressioni e rarefazioni in una sbarra elastica (Figura 04.08-01), le perturbazioni di pressione e densità che viaggiano nei gas (Figura 04.08-07), ossia le onde sonore.

La propagazione trasferisce l’oscillazione a regioni contigue del mezzo. I punti che condividono lo stesso stato di vibrazione (uguale fase) individuano superfici d’onda. Se la sorgente è puntiforme e il fenomeno si svolge in un piano, tali superfici sono circonferenze concentriche; nello spazio tridimensionale diventano sfere concentriche. Le direzioni ortogonali alle superfici d’onda vengono talvolta descritte come raggi.

Tutte le particelle di un mezzo investito da un’onda elastica armonica riproducono la legge di oscillazione imposta dalla sorgente, con la medesima frequenza e con eventuali differenze di fase legate alla distanza. In (Figura 04.08-03) è illustrata la legge di propagazione di un’onda monocromatica in funzione del tempo e della distanza dalla sorgente.

Per il principio di conservazione dell’energia, la propagazione ondulatoria trasporta energia dal generatore verso il mezzo circostante. L’energia associata al moto ondulatorio, indicata nelle (\Delta \nu = \nu - \nu_{s} = \nu_{s} \left( -\frac{u_{s}}{v + u_{s}} \right)) oppure (E = E_{k} + U = 0 + \frac{1}{2} \omega^{2} m A^{2} = \frac{1}{2} \omega^{2} m A^{2}), si trasferisce lungo la direzione di avanzamento. Si definisce intensità l’energia trasportata nell’unità di tempo attraverso l’unità di superficie posta perpendicolarmente alla direzione di propagazione; nel SI essa si misura in W/m². In molte onde armoniche, in assenza di dissipazione, l’intensità è proporzionale al quadrato dell’ampiezza dell’oscillazione.

Le onde si propagano in tre dimensioni. In un mezzo isotropo e per una sorgente puntiforme, i fronti d’onda sono sferici (Figura 04.08-05). La potenza totale irradiata si distribuisce su superfici la cui area cresce con la distanza; di conseguenza, l’intensità decresce come l’inverso dell’area del fronte:

per fronti sferici di raggio \(r\), \( A(r) = 4\pi r^{2} \) e dunque \( I(r) \propto r^{-2} \) (legge dell’inverso del quadrato);
per fronti approssimativamente piani, l’area efficace non varia con \(r\) e l’intensità rimane pressoché costante lungo la direzione di propagazione (Figura 04.08-06).

Un’ultima proprietà cruciale concerne la direzionalità. Quanto più piccola è la lunghezza d’onda rispetto alle dimensioni dell’apertura o della sorgente, tanto più marcato è il collimamento del fascio per effetto della ridotta diffrazione: a frequenze elevate (per esempio nel dominio dei MHz per gli ultrasuoni o per onde elettromagnetiche a microonde e oltre) si ottengono fasci stretti assimilabili a “raggi”. In termini qualitativi, a parità di geometria della sorgente, la riduzione di \(\lambda\) aumenta la direzionalità del campo irradiato.

In sintesi, i fenomeni ondulatori descrivono la propagazione nel tempo e nello spazio di una perturbazione periodica, con trasporto di energia e, tipicamente, senza trasporto netto di materia. La relazione \( v=\lambda\nu \), le grandezze di fase, frequenza e lunghezza d’onda, e le proprietà geometriche dei fronti d’onda costituiscono gli elementi essenziali per interpretarne la dinamica.

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Vibrazione elastica in una sbarra

L’immagine mostra una vibrazione elastica che si propaga lungo una sbarra metallica: il colpo del martello genera una perturbazione che avanza da sinistra verso destra. Ogni sezione della sbarra oscilla avanti e indietro lungo il proprio asse, quindi la perturbazione è di tipo longitudinale perché lo spostamento è parallelo alla propagazione. La legge fisica di riferimento è la legge di Hooke, secondo cui la deformazione elastica è proporzionale alla sollecitazione: σ = E·ε. Per le onde longitudinali in una sbarra vale anche u = √(E/ρ), dove u è la velocità di propagazione, E il modulo di Young e ρ la densità del materiale.