Molti fenomeni ondulatori descritti in precedenza hanno origine dall’azione di forze elastiche, le quali, per loro natura, richiamano il sistema verso una posizione di equilibrio. In presenza di tale forza di richiamo, la grandezza dinamica di interesse S, che può rappresentare ad esempio l’abbassarsi e il sollevarsi di un tappo sull’acqua nel tempo (Figura 04.09-01), evolve come una funzione sinusoidale. Indichiamo pertanto l’andamento temporale con S(t) e adottiamo, come forma generale del moto armonico, l’espressione:

\[S(t) = A \text{ sen } (\omega t + \phi),\]

dove A è l’ampiezza massima dell’oscillazione, φ la fase iniziale e ω la pulsazione angolare. La costante ω determina il periodo T del moto: poiché la funzione seno è 2π-periodica, la periodicità di S(t) impone che gli argomenti (ωt + φ) e (ω(t + T) + φ) differiscano di 2π. Da ciò segue la condizione ω(t + T) + φ − (ωt + φ) = 2π, da cui si ricava:

\[\omega T = 2\pi \quad \text{e quindi} \quad \omega = \frac{2\pi}{T}.\]

La frequenza ν è definita come il numero di oscillazioni per unità di tempo, cioè ν = 1/T; sostituendo si ottiene la relazione fondamentale tra pulsazione e frequenza:

\[\omega = 2\pi \frac{1}{T} = 2\pi\nu.\]

Unità di misura: T si misura in secondi (s), ν in hertz (Hz = s⁻¹), ω in radianti al secondo (rad s⁻¹). Per le proprietà delle funzioni trigonometriche, un moto armonico può essere espresso anche con una funzione coseno introducendo un’adeguata fase: \( A \sin(\omega t + \phi) = A \cos(\omega t + \phi - \tfrac{\pi}{2}) \). In pratica, seno e coseno sono due descrizioni equivalenti dello stesso fenomeno.

Si denomina oscillatore armonico un sistema fisico in cui una o più grandezze evolvono nel tempo secondo la legge sinusoidale precedente. Nel caso meccanico più semplice, una particella di massa m è soggetta a una forza elastica di tipo Hooke, \( F = -k\,S \), con k costante elastica; l’equazione del moto è allora:

\[ m\,\ddot S(t) + k\,S(t) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \ddot S(t) + \omega^{2} S(t) = 0,\ \text{con}\ \omega^{2}=\frac{k}{m}. \]

La soluzione generale è proprio della forma (S(t) = A \sin(\omega t + \phi)) e soddisfa le condizioni iniziali assegnate, ad esempio S(0) e \(\dot S(0)\). Poiché la forza elastica è conservativa, esiste un’energia potenziale quadratica nello spostamento:

\[U = \frac{1}{2}\omega^2 m S^2(t),\]

che si annulla in equilibrio (S(t)=0) e raggiunge il massimo ai punti di inversione, quando |S(t)| = A. Derivando S(t) si ottengono velocità e accelerazione:

\[v(t) = \frac{\Delta S(t)}{\Delta t} = \omega A \cos(\omega t + \phi).\]

La velocità è massima in equilibrio, con \( v_{\max} = \omega A \), e nulla ai massimi di elongazione; l’accelerazione è sempre proporzionale e opposta allo spostamento, in accordo con la legge di Hooke.

L’energia meccanica totale, somma di energia cinetica e potenziale, è costante nel tempo (in assenza di dissipazione):

\[E = E_k + U = \frac{1}{2} m v^2(t) + \frac{1}{2} \omega^2 m S^2(t).\]

L’energia oscilla tra forma potenziale e cinetica: in equilibrio è interamente cinetica, ai punti di inversione è interamente potenziale. Valutando E in corrispondenza del massimo spostamento, S(t)=A, si ottiene

\[E = E_k + U = 0 + \frac{1}{2}\omega^2 m A^2 = \frac{1}{2}\omega^2 m A^2,\]

da cui si deduce che l’energia meccanica totale di un oscillatore armonico cresce con il quadrato dell’ampiezza. Questa proprietà è generale per i fenomeni ondulatori: l’energia associata alla perturbazione è proporzionale al quadrato dell’ampiezza della grandezza che oscilla. Ciò vale sia per vibrazioni meccaniche nei solidi e nei fluidi, sia per onde di altra natura, come quelle elettromagnetiche rilevabili dai sistemi biologici, cioè la luce, a cui si farà riferimento nel Capitolo 17.

Proprietà utili e osservazioni equivalenti

• Rappresentazione in forma di coseno o seno: la scelta è convenzionale e si assorbe nella fase iniziale φ;
• Condizioni iniziali: dati S(0) e v(0) si ricavano ampiezza e fase tramite \( A = \sqrt{S^{2}(0) + \big(v(0)/\omega\big)^{2}} \) e \( \tan\phi = \frac{S(0)\,\omega}{v(0)} \) con i segni coerenti;
• Esempio meccanico tipico: massa–molla con costante k, per cui \( \omega = \sqrt{k/m} \); per piccoli angoli, anche il pendolo semplice approssima un oscillatore armonico con \( \omega \approx \sqrt{g/\ell} \);
• Sfasamento tra grandezze: spostamento e velocità sono sfasati di \( \pi/2 \), mentre accelerazione e spostamento sono in opposizione di fase;
• Significato fisico dei parametri: A determina l’energia, ω fissa la scala temporale dell’oscillazione, φ imposta la configurazione iniziale.

Nel propagarsi in un mezzo, l’energia associata all’oscillazione si trasferisce da una regione all’altra veicolata dalle onde, con intensità proporzionale al quadrato dell’ampiezza locale della perturbazione.

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Vibrazione armonica semplice

Rappresentazione schematica di una vibrazione armonica semplice. In ordinata è riportata una generica grandezza fisica oscillante S.

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