La forza di Laplace su conduttori percorsi da corrente in presenza di un campo magnetico uniforme consente di determinare l’evoluzione meccanica di un circuito immerso in \(\mathbf{B}\). Un circuito piano di area \(S\), percorso da una corrente di intensità \(i\), sperimenta un momento meccanico che lo porta a orientarsi con la sua normale lungo la direzione del campo, risultando perpendicolare alle linee di forza (Figura 07.04-01). Si introduce pertanto il momento magnetico del circuito come vettore \(\mathbf{M} = i\,S\,\mathbf{n}\), dove \(\mathbf{n}\) è il versore normale al piano della spira definito dalla regola della vite destrorsa rispetto al verso della corrente. Il vettore \(\mathbf{M}\) tende ad allinearsi a \(\mathbf{B}\): l’equilibrio risulta stabile se i versi coincidono, instabile se sono opposti. La coppia agente si esprime con \(\boldsymbol{\tau} = \mathbf{M}\times \mathbf{B}\) e l’energia potenziale è \(U = -\,\mathbf{M}\cdot \mathbf{B}\).

Il comportamento di una spira percorsa da corrente è equivalente a quello di un piccolo dipolo magnetico: una calamita libera di orientarsi si dispone parallelamente a \(\mathbf{B}\) e il suo polo nord indica lo stesso verso di \(\mathbf{M}\). Questo è alla base del principio di equivalenza di Ampère, secondo cui un circuito con corrente realizza un dipolo magnetico con una faccia “sud” e una faccia “nord”, lungo la direzione del momento magnetico. Un caso di particolare rilievo è la spira circolare (Figura 07.04-01): le linee del campo generato sono chiuse e simmetriche rispetto all’asse della spira; nel centro, il campo è normale al piano e ha modulo pari a:

\[B = \dfrac{\mu\, i}{2R} \quad (R = \text{raggio della spira}).\]

In questa espressione \(\mu = \mu_0 \mu_r\) è la permeabilità magnetica del mezzo, con \(\mu_0\) costante del vuoto e \(\mu_r\) permeabilità relativa.

Una generalizzazione naturale è il solenoide, ottenuto avvolgendo \(N\) spire attorno a un cilindro (Figura 07.04-02). Se il solenoide è sufficientemente lungo e le spire sono fitte, il campo interno si approssima a essere uniforme e parallelo all’asse; le linee di forza restano confinate quasi interamente all’interno. In tali condizioni, quando lo percorre una corrente \(i\), il modulo del campo è:

\[B = \mu\, i\, n,\]

dove \(n\) è il numero di spire per unità di lunghezza, \(n = N/\ell\) con \(\ell\) lunghezza del solenoide. Un solenoide percorso da corrente si comporta come una calamita allungata; inserendo un nucleo di ferro dolce si ottiene un’elevata intensificazione del campo e una magnetizzazione del nucleo, realizzando una elettrocalamita.

È istruttivo mettere a confronto i campi elettrici e magnetici dal punto di vista topologico delle linee di forza. Le linee del campo elettrico possono essere aperte, emergendo da cariche positive e dirigendosi all’infinito, oppure chiudersi su cariche negative. Le linee del campo magnetico, invece, sono sempre chiuse su se stesse e risultano concatenate alle correnti che le generano: in termini locali, \(\nabla\cdot \mathbf{B} = 0\). Inoltre, il circuito di linea di \(\mathbf{B}\) su una curva chiusa è in generale non nullo, \(\displaystyle \oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu\, I_{\text{conc.}}\), segnalando la non conservatività del campo magnetico in senso rotazionale. A differenza delle cariche elettriche, che possono esistere isolate (monopoli elettrici), non vi è attualmente evidenza sperimentale di monopoli magnetici isolati: spezzando una calamita si ottengono sempre due dipoli, ciascuno con un proprio polo nord e sud (Figura 07.04-03).

Le proprietà magnetiche microscopiche dei materiali si riconducono ai momenti magnetici elementari \(\boldsymbol{\mu}\) associati al moto elettronico e nucleare. Ogni elettrone in orbita contribuisce con un momento magnetico orbitale (una “spira” microscopica), mentre sia gli elettroni sia, per molti nuclidi, i nuclei stessi possiedono un momento magnetico di spin. La risultante vettoriale di questi contributi determina il momento magnetico complessivo di atomi o molecole, che può annullarsi, essere piccolo o risultare significativo:

• Diamagnetismo: quando i momenti magnetici effettivi risultano nulli o debolissimi, la risposta a un campo esterno è una magnetizzazione indotta in senso opposto a \(\mathbf{B}\), con \(\mu_r < 1\); ne sono esempi acqua, rame e la gran parte dei composti organici;
• Paramagnetismo: sistemi con momento magnetico atomico o molecolare non nullo mostrano una debole attrazione verso \(\mathbf{B}\), con \(\mu_r > 1\); rientrano in questa classe, ad esempio, sali contenenti ioni come Gd\(^{3+}\), Cr\(^{3+}\), Fe\(^{3+}\), oltre a gas come l’ossigeno e metalli debolmente paramagnetici quali alluminio e magnesio; in assenza di campo esterno, i momenti elementari sono orientati casualmente e il momento macroscopico medio è nullo;
• Ferromagnetismo: in alcuni solidi, al di sotto di una temperatura critica (temperatura di Curie), i momenti magnetici tendono a ordinarsi parallelamente in domini; l’allineamento collettivo produce una magnetizzazione spontanea e una permeabilità molto elevata; a temperatura ambiente ferro, cobalto, nichel e varie leghe di metalli di transizione ne sono esempi. La struttura a domini spiega l’isteresi e la possibilità di realizzare magneti permanenti (Figura 07.04-03).

Un materiale ferromagnetico, grazie all’elevata permeabilità e alla risposta non lineare, è idoneo alla costruzione di magneti permanenti e nuclei per dispositivi elettromagnetici. In termini macroscopici, la relazione tra campo magnetizzante e risposta del materiale si può esprimere introducendo la suscettibilità magnetica \(\chi_m\), con \(\mu_r = 1 + \chi_m\) per diamagneti e paramagneti in regime lineare; nei ferromagneti \(\mu_r\) risulta grande e dipendente dalla storia del campo applicato.

Esempio numerico: una spira circolare di raggio \(R = 5,0\,\text{cm}\) che conduce \(i = 3,0\,\text{A}\), immersa in aria \((\mu \simeq \mu_0)\), produce al centro un campo \(B \approx \mu_0 i/(2R) \simeq 4\pi\times 10^{-7}\,\text{H/m}\times 3,0 /(2\times 0,050)\), pari a circa \(3,8\times 10^{-5}\,\text{T}\); il momento magnetico della spira è \(M = i S = i \pi R^2 \approx 3,0 \times \pi \times (0,050)^2 \simeq 2,4\times 10^{-2}\,\text{A m}^2\), con verso dato dalla regola della vite destrorsa.

Infine, l’impossibilità di separare i poli nord e sud, già evidenziata dal fatto che le linee di \(\mathbf{B}\) sono chiuse, implica che spezzando un magnete si ottengono sempre dipoli magnetici più piccoli, mai monopoli isolati (Figura 07.04-03). Questa proprietà distingue radicalmente il magnetismo dall’elettrostatica, dove cariche isolate possono esistere e generare linee di campo aperte.

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Linee di forza di una spira circolare

Linee di forza del campo magnetico generato da una spira circolare. Con S viene indicata la superficie circolare della spira.

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Linee di forza del campo magnetico generato da una spira circolare. Con S viene indicata la superficie circolare della spira.

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Campo magnetico di un solenoide

(a) Schema di un solenoide. (b) Linee di forza del campo magnetico generato da un solenoide. All’esterno del solenoide le linee di campo, che sono sempre chiuse, sono molto rade. Ciò significa che ivi il campo magnetico è molto poco intenso, al limite trascurabile. (c) All’interno il campo magnetico è praticamente uniforme quando le spire sono molto addensate.

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Configurazioni di magneti permanenti

Sono mostrate alcune diverse configurazioni di magneti permanenti che illustrano l’andamento delle linee di forza del campo magnetico B (N = polo nord e S = polo sud). Si osservi che le linee di forza del campo magnetico tendono a concentrarsi nel materiale ferromagnetico.

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Configurazioni di magneti permanenti

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Configurazioni di magneti permanenti

Sono mostrate alcune diverse configurazioni di magneti permanenti che illustrano l’andamento delle linee di forza del campo magnetico B (N = polo nord e S = polo sud). Si osservi che le linee di forza del campo magnetico tendono a concentrarsi nel materiale ferromagnetico.

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