La descrizione puramente classica di atomi e molecole, fondata su meccanica newtoniana ed elettromagnetismo di Maxwell, non riesce a spiegare la stabilità degli atomi, gli spettri discreti e i processi energetici su scala microscopica. La svolta nasce con l’ipotesi dei quanti di Planck (1900), secondo cui gli scambi di energia avvengono in pacchetti indivisibili, e con l’interpretazione di Einstein (1905) dell’effetto fotoelettrico, che introduce il fotone come quanto del campo elettromagnetico: una eccitazione priva di massa a riposo ma dotata di energia e quantità di moto ben definite. Se \(\nu\) è la frequenza dell’onda elettromagnetica, valgono le relazioni:

\(E = h\nu\) e, per la quantità di moto, \(p = \dfrac{h\nu}{c}\), dove \(c\) è la velocità della luce nel vuoto e \(h\) è la costante di Planck \((h = 6{,}626\times 10^{-34}\ \mathrm{J\,s} = 6{,}626\times 10^{-27}\ \mathrm{erg\,s})\). L’intensità di un’onda elettromagnetica è interpretabile come flusso di fotoni per unità di area e tempo, ciascuno con energia \(E\).

In modo complementare, De Broglie (1924) propose che anche particelle materiali, come elettroni o neutroni, possiedano caratteri ondulatori. Gli esperimenti di diffrazione su cristalli, tra cui le misure di Davisson e Germer e quelle di G. P. Thomson (1927), confermarono tale dualità rivelando pattern di interferenza tipici di onde. La lunghezza d’onda associata a una particella di quantità di moto \(p = mv\) risulta:

\(\lambda = \dfrac{h}{mv}\)

Questa relazione lega la dinamica corpuscolare alla descrizione ondulatoria e consente di prevedere fenomeni come la diffrazione elettronica o la coerenza dei fasci atomici. La formulazione sistematica, nota come meccanica ondulatoria (Schrödinger, 1926), organizza i modelli quantistici antecedenti, come quello di Bohr, entro un quadro matematico coerente capace di spiegare gli spettri discreti, la stabilità dello stato fondamentale e le transizioni indotte da radiazione.

Nella meccanica ondulatoria lo stato fisico è rappresentato da una funzione d’onda \(\psi\), che non descrive un’onda materiale, bensì un’ampiezza complessa la cui densità di probabilità è \(|\psi|^2\) (interpretazione di Born). La teoria non fornisce traiettorie determinate per le particelle, ma distribuzioni di probabilità per posizioni, velocità ed energie. Gli osservabili sono associati a operatori lineari; i valori misurabili emergono come autovalori e le previsioni statistiche come valori attesi, in accordo con la natura intrinsecamente probabilistica dei processi microscopici.

Il formalismo quantistico è universale e si applica anche a sistemi macroscopici. Tuttavia, quando le azioni caratteristiche del sistema sono molto maggiori di \(h\), gli effetti quantistici diventano trascurabili e le leggi classiche riemergono come limite di corrispondenza. In tale regime, le differenze tra descrizione ondulatoria e meccanica classica si assottigliano, consentendo di trattare la costante di Planck come praticamente nulla rispetto alle grandezze in gioco:

• Quantizzazione dell’energia: scambi energetici a multipli di \(h\nu\);
• Doppia natura di luce e materia: fotoni con \(E=h\nu\), particelle con \(\lambda = h/p\);
• Ruolo della funzione d’onda: \(|\psi|^2\) come densità di probabilità e assenza di traiettorie definite;
• Limite classico: recupero della meccanica newtoniana quando le scale di azione eccedono largamente \(h\).