Per rappresentare in modo sistematico le interazioni meccaniche all’interno di un sistema è utile introdurre il concetto di campo di forze. Si dice che una regione dello spazio è sede di un campo quando a ogni punto sono associati intensità e direzione della forza che agirebbe su un corpo posto in quel punto: in forma vettoriale, si scrive \(\mathbf{F}=\mathbf{F}(x,y,z)\), con \((x,y,z)\) coordinate spaziali dei punti della regione considerata.

Poiché nelle teorie classiche a interazione istantanea e lineare (come l’elettrostatica e la gravitazione newtoniana) le sorgenti contribuiscono in modo indipendente, vale il principio di sovrapposizione: il campo risultante è la somma vettoriale dei campi dovuti a ciascuna sorgente. Questa proprietà è fondamentale, ad esempio, per ricostruire il campo elettrico generato da distribuzioni continue di carica, e analogamente per la somma dei contributi gravitazionali di più masse.

Le linee di forza di un campo sono le curve che, in ogni punto, hanno come tangente la direzione del vettore campo; in tal modo offrono una rappresentazione qualitativa dell’andamento del campo nello spazio (Figura 02.05-01).

Come caso paradigmatico, consideriamo il campo gravitazionale terrestre. La gravitazione è un’interazione attrattiva tra masse. Per due masse puntiformi \(m_{1}\) e \(m_{2}\) separate dalla distanza \(r\), la legge di Newton fornisce l’intensità e la direzione della forza:

(2.24)

\[\mathbf{F}_{12} = -G \frac{m_1 m_2}{r^2} \left(\frac{\mathbf{r}}{r}\right) \quad \left[G = 6.67 \cdot 10^{-11} \text{ newton m}^2 \text{kg}^{-2}\right]\]

Il versore \(\hat{\mathbf{r}}\) individua la direzione del segmento che unisce le due masse e il verso è quello che punta da \(m_{2}\) verso \(m_{1}\) (Figura 02.05-02); il segno meno riflette il carattere attrattivo dell’interazione. La costante di gravitazione universale \(G\) è numericamente molto piccola, indice della debolezza della forza gravitazionale rispetto ad altre interazioni fondamentali.

Con riferimento alla Terra, la forza che agisce su un corpo di massa \(m\) posto a distanza \(r\) dal centro terrestre, dove \(M_{T}\) è la massa della Terra, ha modulo:

(2.25)

\[F = G \frac{M_{\text{T}} m}{r^2}\]

Questa forza può essere considerata applicata al baricentro del corpo, diretta verso il centro terrestre. Se il corpo si trova in prossimità della superficie, si può assumere \(r\simeq R\) (raggio medio terrestre), così che il campo è pressoché uniforme su regioni limitate e il modulo della forza diventa costante rispetto alla posizione. In tale approssimazione, la forza in modulo è:

(2.26)

\[F = G \frac{M_{\text{T}} m}{R^2} = g m\]

dove \(g=G\,M_{T}/R^{2}\simeq 9,81\ \text{m s}^{-2}\) è l’accelerazione di gravità al livello del mare. In un intorno relativamente piccolo della superficie, le linee di forza risultano pressoché parallele e il campo quasi uniforme; la forza agente su una massa \(m\) è quindi la forza peso \(\mathbf{p}=m\,\mathbf{g}\) con direzione verticale e verso verso il basso (Figura 02.05-03). A distanze confrontabili o superiori a \(R\), il carattere radiale del campo diventa evidente e le linee di forza sono uscenti o entranti radialmente (Figura 02.05-03), mentre la dipendenza dall’inverso del quadrato rientra nella forma generale della legge di Newton.

È spesso più conveniente caratterizzare un campo di forze tramite l’intensità di campo, definita come forza per unità di massa. Per la gravità, il vettore campo è l’accelerazione di gravità \(\mathbf{g}(\mathbf{r})=\mathbf{F}(\mathbf{r})/m\), che non dipende dal corpo sonda e ha dimensioni di accelerazione. Il campo gravitazionale newtoniano è conservativo in regioni prive di massa: esiste un potenziale scalare \(\Phi(\mathbf{r})\) tale che \[ \mathbf{g}(\mathbf{r})=-\nabla \Phi(\mathbf{r}), \quad \Phi(r)=-\,\frac{G M}{r} \] per una sorgente puntiforme di massa \(M\). Le superfici equipotenziali sono sfere concentriche e risultano ortogonali alle linee di forza.

La non uniformità di \(g\) sulla superficie terrestre è dovuta a più fattori. In prima approssimazione si osserva che:

• la rotazione terrestre introduce una forza centrifuga che si sottrae al peso; di conseguenza il valore efficace di \(g\) è massimo ai poli e minimo all’equatore, con valori tipici pari a circa \(9,823\ \text{m s}^{-2}\) ai poli e \(9,789\ \text{m s}^{-2}\) all’equatore;
• lo schiacciamento polare comporta un raggio equatoriale leggermente maggiore del raggio polare; l’aumento della distanza dal centro, alle basse latitudini, riduce debolmente \(g\) secondo la dipendenza \(g\propto 1/r^{2}\).

Su scale verticali moderate, la variazione con la quota può essere stimata con \[ g(h)\approx g_{0}\left(\frac{R}{R+h}\right)^{2}\approx g_{0}\left(1-\frac{2h}{R}\right), \] valida per \(h\ll R\). A titolo illustrativo, per \(h=2,5\ \text{km}\) si ottiene una diminuzione di circa lo 0,08 % rispetto a \(g_{0}\).

Il principio di sovrapposizione si applica anche al campo terrestre quando altre masse sono presenti nelle vicinanze: il campo totale è la somma dei contributi, ciascuno valutato con la relativa distribuzione di massa. In termini continui, se \(\rho(\mathbf{r})\) è la densità di massa, il campo soddisfa le relazioni differenziali di Gauss per la gravità, \[ \nabla\cdot \mathbf{g}(\mathbf{r})=-4\pi G\,\rho(\mathbf{r}), \quad \nabla\times \mathbf{g}(\mathbf{r})=\mathbf{0} \] al di fuori delle sorgenti, a conferma del carattere conservativo del campo newtoniano.

Esempio numerico. Un corpo di massa \(m=2,0\ \text{kg}\) ha, al livello del mare, peso \(p_{0}=m g_{0}\). A quota \(h=3,0\ \text{km}\), usando \(g(h)\approx g_{0}(R/(R+h))^{2}\) con \(R=6\,371\ \text{km}\), si trova \[ \frac{g(h)}{g_{0}}\approx \left(\frac{6\,371}{6\,374}\right)^{2}\approx 0,99906, \] per cui \(p(h)\approx 0,99906\,p_{0}\). La differenza assoluta è dell’ordine di \(1,9\times 10^{-2}\ \text{N}\), coerente con la debole diminuzione di \(g\) con la quota.

Infine, ricordando la definizione operativa di linea di forza, le curve del campo gravitazionale locale sono verticali e parallele su regioni limitate (Figura 02.05-03), mentre nell’intorno globale della Terra assumono disposizione radiale (Figura 02.05-03), con il versore radiale definito come in (Figura 02.05-02).

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Forza e linea di forza

In un punto qualsiasi di un campo di forze il vettore forza è tangente alla linea di forza.

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Forza gravitazionale

Forze di attrazione gravitazionale fra due masse. Per il terzo principio della Dinamica: F₁₂ = –F₂₁.

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Linee di forza gravitazionale

Linee di forza del campo gravitazionale: (a) a grande distanza dalla Terra; (b) in prossimità della superficie terrestre dove g = 9,81 m·s⁻².

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Linee di forza del campo gravitazionale: (a) a grande distanza dalla Terra; (b) in prossimità della superficie terrestre dove g = 9,81 m·s⁻².

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Linee di forza del campo gravitazionale: (a) a grande distanza dalla Terra; (b) in prossimità della superficie terrestre dove g = 9,81 m·s⁻².

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Forze di attrazione gravitazionale fra due masse. Per il terzo principio della Dinamica: F₁₂ = –F₂₁.

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