Grandezze scalari e grandezze vettoriali
Definizione
La misurazione di una grandezza fisica non sempre può essere espressa da un singolo numero, ossia dal rapporto tra la grandezza considerata e l’unità di misura prescelta. Alcune grandezze richiedono, oltre all’intensità, informazioni sulla direzione e sul verso. Dire che un corpo “viaggia a 50 km/ora” non specifica in quale direzione si stia muovendo; analogamente, chiedere di “spostarsi di 3 metri” è ambiguo se non si indicano direzione e verso dello spostamento. Per rappresentare in modo completo tali grandezze è necessario introdurre enti matematici più ricchi dei numeri reali.
Si definiscono grandezze scalari quelle completamente descritte da un numero reale una volta fissata l’unità di misura; si definiscono grandezze vettoriali quelle per cui occorre fornire, oltre al modulo, anche direzione e verso. In ambito teorico, il concetto di vettore si estende ai tensori, che giocano un ruolo centrale in teorie avanzate, come nella Relatività Generale:
- Esempi di grandezze scalari: massa, volume, energia, temperatura;
- Esempi di grandezze vettoriali: spostamento, velocità, accelerazione, forza, campo elettrico.
Una rappresentazione naturale di un vettore è quella geometrica: lo si identifica con un segmento orientato. La lunghezza del segmento è proporzionale al modulo del vettore, mentre direzione e verso coincidono con quelli della grandezza fisica rappresentata. In taluni contesti è rilevante anche il punto di applicazione, distinguendo fra vettori applicati e vettori liberi. Adottiamo la convenzione di indicare i vettori con lettere in grassetto, per esempio v, e il loro modulo con v oppure con |v| (Figura 01.04-01).
La descrizione puramente grafica, sebbene intuitiva, diventa poco pratica quando si devono eseguire calcoli. Per questo si introduce una rappresentazione analitica basata sulle proiezioni del vettore rispetto a un sistema di riferimento. Dato un vettore v = A O e una retta orientata r che forma un angolo \(\phi\) con v, si definisce componente di v lungo r la quantità:
\[ v_{r} = v \cos \phi \]
che corrisponde alla lunghezza della proiezione di v sulla retta r (Figura 01.04-02). Il vettore componente lungo r è rappresentato, in (Figura 01.04-02), dal segmento orientato A’ O, avente direzione r e modulo pari a \(v_{r}\).
Ogni vettore può essere scomposto in componenti rispetto a più direzioni fissate. In particolare, associando un sistema di riferimento a tre rette orientate uscenti da un’origine comune, si ottiene una descrizione numerica delle componenti. Quando le tre rette sono mutualmente perpendicolari si parla di sistema cartesiano ortogonale, con assi x, y, z. Date le componenti \(v_{x}, v_{y}, v_{z}\) del vettore v lungo gli assi, il vettore è rappresentabile mediante la terna di numeri e il sistema di riferimento in cui tali componenti sono valutate. Con riferimento alla (Figura 01.04-03), le componenti assumono la forma:
\[ \begin{aligned} v_{x} &= |\mathbf{v}| \cos \theta \sin \phi \\ v_{y} &= |\mathbf{v}| \sin \theta \sin \phi \\ v_{z} &= |\mathbf{v}| \cos \phi \end{aligned} \]
dove gli angoli \(\theta\) e \(\phi\) sono quelli indicati nella (Figura 01.04-03). Da tali componenti si ricava il modulo del vettore:
\[ |\mathbf{v}| = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}} \]
Questa espressione è una conseguenza del teorema di Pitagora esteso allo spazio tridimensionale, e risulta indipendente dalla particolare orientazione del sistema di assi, purché il sistema rimanga ortogonale.
È cruciale distinguere fra le componenti, che dipendono dalla scelta del riferimento, e il vettore in sé, che è un ente geometrico indipendente dal sistema usato per descriverlo. Ruotando o traslando il sistema di riferimento, i valori di \(v_{x}, v_{y}, v_{z}\) cambiano in accordo con le regole di trasformazione (ad esempio tramite matrici di rotazione ortogonali), ma il vettore rappresentato resta immutato. Equivalentemente, si può scrivere \(\mathbf{v} = v_{x}\,\hat{\mathbf{i}} + v_{y}\,\hat{\mathbf{j}} + v_{z}\,\hat{\mathbf{k}}\), dove \(\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}\) sono i versori lungo gli assi cartesiani; un cambiamento di base modifica le componenti, non l’oggetto geometrico.
Nel seguito, le operazioni fondamentali del calcolo vettoriale (somma e differenza di vettori, prodotto scalare e prodotto vettoriale) consentiranno di formulare con chiarezza molte leggi fisiche espresse in termini di grandezze vettoriali, come evidenziato nei Capitoli successivi.
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In meccanica e in algebra lineare i vettori sono considerati grandezze “libere”: due vettori sono equivalenti se hanno uguale modulo, direzione e verso, indipendentemente dal punto di applicazione. Di conseguenza, quando si devono combinare due vettori, è lecito traslarli parallelamente a se stessi fino a far coincidere le origini. Siano dunque dati i vettori \(\mathbf{v}_{1}\) e \(\mathbf{v}_{2}\) con la stessa origine; la loro somma \(\mathbf{v}_{3}\) è il vettore che si ottiene costruendo il parallelogramma avente per lati \(\mathbf{v}_{1}\) e \(\mathbf{v}_{2}\) e scegliendo la diagonale che parte dall’origine comune (Figura 01.04-04). L’addizione di più vettori può essere eseguita iterativamente, oppure con la regola del poligono, disponendo “testa-coda” i vettori in sequenza. La somma può essere calcolata anche per componenti in un sistema di riferimento cartesiano (Figura 01.04-05).
Nel riferimento tridimensionale, indicando con \(v_{1x}, v_{1y}, v_{1z}\) e \(v_{2x}, v_{2y}, v_{2z}\) le componenti di \(\mathbf{v}_{1}\) e \(\mathbf{v}_{2}\), la somma \(\mathbf{v}_{3}\) ha componenti:
\[ \begin{cases} v_{3x} = v_{1x} + v_{2x} \\ v_{3y} = v_{1y} + v_{2y} \\ v_{3z} = v_{1z} + v_{2z} \end{cases} \]
La sottrazione tra vettori \(\mathbf{v}_{1} - \mathbf{v}_{2}\) è definita come la somma di \(\mathbf{v}_{1}\) con l’opposto di \(\mathbf{v}_{2}\). Equivalentemente, \(\mathbf{v}_{3} = \mathbf{v}_{1} - \mathbf{v}_{2}\) è il vettore che, sommato a \(\mathbf{v}_{2}\), restituisce \(\mathbf{v}_{1}\), cioè \(\mathbf{v}_{3} + \mathbf{v}_{2} = \mathbf{v}_{1}\). Graficamente, \(\mathbf{v}_{3}\) è associato all’altra diagonale del parallelogramma costruito su \(\mathbf{v}_{1}\) e \(\mathbf{v}_{2}\) (Figura 01.04-06). Per componenti, la differenza si ottiene sottraendo le componenti corrispondenti (Figura 01.04-07). La somma di due vettori di eguale modulo e verso opposto genera il vettore nullo, le cui componenti sono tutte nulle.
Il prodotto tra vettori può produrre una quantità scalare o un nuovo vettore. Il prodotto scalare fra \(\mathbf{v}_{1}\) e \(\mathbf{v}_{2}\) è la grandezza scalare data dal prodotto dei moduli e dal coseno dell’angolo \(\phi\) compreso tra essi (Figura 01.04-08):
\[ \mathbf{v}_{1} \cdot \mathbf{v}_{2} = v_{1}\, v_{2}\, \cos \phi \]
In coordinate cartesiane ortonormali vale la forma equivalente: \(\mathbf{v}_{1} \cdot \mathbf{v}_{2} = v_{1x}v_{2x} + v_{1y}v_{2y} + v_{1z}v_{2z}\). Il prodotto scalare è commutativo e distributivo rispetto alla somma:
\[ \mathbf{v}_{1} \cdot \mathbf{v}_{2} = \mathbf{v}_{2} \cdot \mathbf{v}_{1} \quad \text{e} \quad \mathbf{v}_{1} \cdot (\mathbf{v}_{2} + \mathbf{v}_{3}) = \mathbf{v}_{1} \cdot \mathbf{v}_{2} + \mathbf{v}_{1} \cdot \mathbf{v}_{3} \]
Ulteriori proprietà fondamentali includono:
- non negatività del prodotto scalare con se stesso, \(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v} = \|\mathbf{v}\|^{2} \ge 0\), con uguaglianza solo per il vettore nullo;
- disuguaglianza di Cauchy-Schwarz, \(|\mathbf{v}_{1}\cdot \mathbf{v}_{2}| \le \|\mathbf{v}_{1}\|\,\|\mathbf{v}_{2}\|\), con uguaglianza se e solo se i vettori sono linearmente dipendenti;
- determinazione dell’angolo: \(\cos \phi = \dfrac{\mathbf{v}_{1}\cdot \mathbf{v}_{2}}{\|\mathbf{v}_{1}\|\,\|\mathbf{v}_{2}\|}\); due vettori ortogonali hanno prodotto scalare nullo.
Esempio fisico classico è il lavoro: \(L = \mathbf{F} \cdot \mathbf{s}\), dove \(\mathbf{F}\) è la forza e \(\mathbf{s}\) lo spostamento del punto di applicazione. Se \(\mathbf{F}=(4,0, -1)\,\text{N}\) e \(\mathbf{s}=(0, 0, 3)\,\text{m}\), allora \(L = 4\cdot 0 + 0\cdot 0 + (-1)\cdot 3 = -3\,\text{J}\); il segno negativo indica che la componente della forza lungo lo spostamento è opposta. Per due vettori a 90° si ha necessariamente \(L=0\) poiché \(\cos(\pi/2)=0\).
Passando al prodotto vettoriale, dati \(\mathbf{v}_{1}\) e \(\mathbf{v}_{2}\) (Figura 01.04-09), si definisce \(\mathbf{v}_{3}=\mathbf{v}_{1}\wedge \mathbf{v}_{2}\) come il vettore la cui intensità è il prodotto dei moduli per il seno dell’angolo compreso, pari all’area del parallelogramma teso da \(\mathbf{v}_{1}\) e \(\mathbf{v}_{2}\):
\[ |\mathbf{v}_{3}| = v_{1}\, v_{2}\, \sin \phi \]
La direzione di \(\mathbf{v}_{3}\) è ortogonale al piano individuato da \(\mathbf{v}_{1}\) e \(\mathbf{v}_{2}\); il verso si stabilisce con la regola della mano destra (equivalente alla convenzione della vite: ruotando \(\mathbf{v}_{1}\) verso \(\mathbf{v}_{2}\) attraverso l’angolo acuto, l’avanzamento della vite indica il verso; (Figura 01.04-09). Nel seguito si usa il simbolo \(\wedge\) per il prodotto vettoriale:
\[ \mathbf{v}_{1} \wedge \mathbf{v}_{2} = \mathbf{v}_{3} \]
Se i due vettori sono paralleli o antiparalleli, il prodotto vettoriale è nullo poiché \(\sin 0^\circ = \sin 180^\circ = 0\). Il prodotto vettoriale è anticommutativo e distributivo rispetto alla somma, ma non è associativo:
\[ \mathbf{v}_{2} \wedge \mathbf{v}_{1} = -\,\mathbf{v}_{1} \wedge \mathbf{v}_{2} \]
\[ \mathbf{v}_{1} \wedge (\mathbf{v}_{2} + \mathbf{v}_{3}) = (\mathbf{v}_{1} \wedge \mathbf{v}_{2}) + (\mathbf{v}_{1} \wedge \mathbf{v}_{3}) \]
In coordinate cartesiane ortonormali, con base \((\hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}})\), le componenti si ottengono dal determinante: \[ \mathbf{v}_{1}\wedge \mathbf{v}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}} \\ v_{1x} & v_{1y} & v_{1z} \\ v_{2x} & v_{2y} & v_{2z} \end{vmatrix} = \bigl(v_{1y}v_{2z}-v_{1z}v_{2y}\bigr)\hat{\mathbf{i}} - \bigl(v_{1x}v_{2z}-v_{1z}v_{2x}\bigr)\hat{\mathbf{j}} + \bigl(v_{1x}v_{2y}-v_{1y}v_{2x}\bigr)\hat{\mathbf{k}}. \]
Un esempio tipico è il momento torcente \(\mathbf{M}\) di una forza rispetto a un punto \(O\), definito come prodotto vettoriale tra il raggio vettore \(\overrightarrow{OA}\), che va da \(O\) al punto \(A\) di applicazione, e la forza \(\mathbf{F}\) (Figura 01.04-10):
\[ \mathbf{M} = \overrightarrow{OA} \wedge \mathbf{F} \]
Per esempio, se \(\overrightarrow{OA}=(0,40,\,0,00,\,0,00)\,\text{m}\) e \(\mathbf{F}=(0,\,5,00,\,0)\,\text{N}\), allora \(\mathbf{M}=\overrightarrow{OA}\wedge \mathbf{F}=(0,00,\,0,00,\,2,00)\,\text{N·m}\), diretto lungo l’asse positivo \(z\). Il modulo del momento coincide con \(M = F\,d_{\perp}\), dove \(d_{\perp}\) è il braccio perpendicolare della forza.
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