Flusso di campo magnetico e induzione elettromagnetica
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Definizione
Nei paragrafi precedenti sono stati esaminati gli effetti magnetici generati da correnti stazionarie, ossia con intensità i costante nel tempo. Passiamo ora al processo “complementare”: la produzione di una differenza di potenziale elettrico, e quindi di corrente in un circuito chiuso, dovuta alla variazione nel tempo del campo magnetico concatenato al circuito. A tal fine, introduciamo il flusso del vettore induzione magnetica \(\mathbf{B}\) attraverso una superficie orientata \(S\). Per chiarezza, limitiamoci dapprima al caso in cui il circuito sia immerso in un campo uniforme e la superficie sia piana (Figura 07.05-01).
Chiamiamo flusso magnetico concatenato al circuito la grandezza:
\[\Phi(\mathbf{B}) = S \mathbf{B} \cdot \mathbf{n} = B\,S \cos\alpha,\]
dove \(S\) è l’area delimitata dal circuito, \(\mathbf{n}\) è il versore normale alla superficie secondo la convenzione della mano destra, e \(\alpha\) è l’angolo fra \(\mathbf{B}\) e \(\mathbf{n}\). L’unità SI del flusso è il weber (Wb), pari a tesla metro quadrato (T·m²). Nella trattazione generale, quando il campo non è uniforme o la superficie è arbitraria, il flusso si esprime come \(\Phi(\mathbf{B})=\int_{S} \mathbf{B}\cdot \mathbf{n}\,\mathrm{d}S\), riducendosi alla forma sopra per campi uniformi e superfici piane.
Il flusso concatenato \(\Phi(\mathbf{B})\) può variare nel tempo per diverse ragioni, ciascuna equivalente dal punto di vista fisico:
- modifica dell’intensità del campo \(\mathbf{B}(t)\);
- variazione dell’orientazione del circuito rispetto a \(\mathbf{B}\) (cioè dell’angolo \(\alpha\), ad esempio per rotazione meccanica);
- cambiamento dell’area utile \(S\) del circuito (deformazione o scorrimento parziale del circuito nel campo);
- traslazione di conduttori in regioni con campo non uniforme, che altera la porzione di linea di forza concatenata.
Se \(\Phi(\mathbf{B})\) è costante, non si rileva alcuna d.d.p. ai capi del circuito interrotto. Viceversa, quando \(\Phi(\mathbf{B})\) cambia nel tempo, tra due punti A e B del circuito si instaura una forza elettromotrice indotta per tutto l’intervallo in cui avviene la variazione. Questo è il contenuto fenomenologico dell’induzione elettromagnetica.
La dipendenza quantitativa della f.e.m. indotta dalla variazione di flusso è espressa dalla legge di Faraday–Neumann (con il segno di Lenz):
\[V_i = - \dfrac{\Delta[\Phi(\mathbf{B})]}{\Delta t},\]
dove \(V_i\) è la f.e.m. media nell’intervallo di tempo \(\Delta t\) e \(\Delta[\Phi(\mathbf{B})]\) la corrispondente variazione di flusso. Il segno negativo, introdotto da Lenz, indica che il verso della corrente indotta è tale da generare un campo magnetico che si oppone alla variazione di flusso che l’ha originata, garantendo la conservazione dell’energia. Per un avvolgimento con \(N\) spire identiche e concatenate dallo stesso flusso, la f.e.m. totale è \(V_i = -N\,\dfrac{\Delta \Phi}{\Delta t}\).
Nel limite di variazioni continue nel tempo, la formulazione locale di Faraday si scrive come integrale di circuito e, in forma differenziale (equazione di Maxwell–Faraday), come: \[\oint_{\partial S} \mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{S} \mathbf{B}\cdot \mathbf{n}\,\mathrm{d}S,\qquad \nabla\times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.\] Tali espressioni evidenziano che un campo magnetico variabile nel tempo è sorgente di un campo elettrico non conservativo. Nel caso di conduttori in movimento in un campo stazionario, la f.e.m. può essere interpretata anche come “f.e.m. di movimento”, riconducibile alla forza di Lorentz \(q\,\mathbf{v}\times \mathbf{B}\) sulle cariche in moto.
Se il circuito è chiuso, la f.e.m. induce una corrente che scorre soltanto finché il flusso varia. Assumendo resistenza complessiva \(R\) costante e trascurando effetti reattivi, l’intensità di corrente è data dalla legge di Ohm:
\[i = - \dfrac{1}{R} V_i = - \dfrac{1}{R}\,\dfrac{\Delta[\Phi(\mathbf{B})]}{\Delta t}\]
Il segno esplicita il verso della corrente indotta coerente con la legge di Lenz. Nella pratica, \(R\) può dipendere dalla temperatura, e in circuiti reali entrano in gioco anche l’autoinduzione e le capacità parassite; tuttavia, per intervalli di tempo brevi e variazioni lente, l’approssimazione ohmica fornisce una stima affidabile.
Esempio numerico. Un circuito piano di area \(S=0,020\,\text{m}^2\) è immerso in un campo uniforme di modulo \(B=0,50\,\text{T}\). Il circuito ruota in modo da portare \(\alpha\) da \(0^\circ\) a \(90^\circ\) in \(\Delta t=0,10\,\text{s}\). La variazione di flusso è \(\Delta\Phi = B S(\cos 90^\circ - \cos 0^\circ) = 0,50\times 0,020\times(0-1) = -0,010\,\text{Wb}\). La f.e.m. media vale \(V_i = -\Delta\Phi/\Delta t = -(-0,010)/0,10 = 0,10\,\text{V}\). Se la resistenza del circuito è \(R=2,0\,\Omega\), la corrente media è \(i = V_i/R = 0,10/2,0 = 0,050\,\text{A}\), con verso determinato dalla regola di Lenz.
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