Per un fluido incomprimibile e privo di viscosità (liquido perfetto), in assenza di scambi dissipativi e con moto stazionario, dall’energia meccanica conservata si ricava un’equazione fondamentale, nota come teorema di Bernoulli. Pur essendo derivata per fluidi ideali, essa fornisce una valida approssimazione in numerose situazioni reali, a condizione che le perdite per attrito siano trascurabili o opportunamente localizzate.

In un condotto rigido e senza perdite, la portata, definita come il volume che attraversa nell’unità di tempo una qualunque sezione S, rimane costante lungo il condotto per l’equazione di continuità (\[S v = S' v' \quad \text{ossia} \quad \frac{v}{v'} = \frac{S'}{S}, \quad \text{in generale} \quad S v = \text{costante}\]). Indicando con v la velocità media sulla sezione, si ha:

\[ Q = \frac{\Delta V}{\Delta t} = S v = \text{costante} \]  

Applicando la formula alla configurazione schematizzata in (Figura 03.04-01), si ricava immediatamente:

\[
Q = S \frac{x}{\Delta t} = \frac{S_1 \ell_1}{\Delta t} = \frac{S_2 \ell_2}{\Delta t}, \quad \text{per cui} \quad S_1 \ell_1 = S_2 \ell_2.
\]

Consideriamo ora il volumetto di liquido di massa m e volume \(\Delta V\) che si sposta nel tratto di condotto (Figura 03.04-01) dalla posizione iniziale 1 alla posizione finale 2. Applicando il principio di conservazione dell’energia nella forma del teorema dell’energia cinetica, otteniamo:

\[
L = \Delta E_k = E_{k2} - E_{k1} = \frac{1}{2} m v_2^2 - \frac{1}{2} m v_1^2,
\]

Il lavoro totale L è la somma dei lavori compiuti dalle forze agenti su \(\Delta V\), ossia il peso e le pressioni applicate alle due sezioni. Pertanto, per il trasferimento da S₁ a S₂, si ha:

\[
m g (h_1 - h_2) + S_1 p_1 \ell_1 - S_2 p_2 \ell_2 = \frac{1}{2} m v_2^2 - \frac{1}{2} m v_1^2,
\] 

Il significato dei termini è il seguente:

• \(mg(h_1 - h_2)\): lavoro della forza peso nel passaggio dalla quota \(h_1\) alla quota \(h_2\);
• \(S_1 p_1 \ell_1\): lavoro svolto dalla pressione a monte \(p_1\) sulla superficie \(S_1\) per avanzare di \(\ell_1\);
• \(S_2 p_2 \ell_2\): lavoro della pressione a valle \(p_2\) su \(S_2\), con segno negativo poiché opposto al moto.

Introdotta la densità \(d = m/\Delta V\), dividendo membro a membro per \(\Delta V\) si ottiene:

\[
d g h_1 - d g h_2 + p_1 - p_2 = \frac{1}{2} d v_2^2 - \frac{1}{2} d v_1^2.
\]

Riorganizzando i termini, portando quelli con indice 1 a sinistra e quelli con indice 2 a destra, e dividendo tutti i termini per \(dg\), si perviene alla forma classica del teorema di Bernoulli:

\[
h_1 + \frac{p_1}{d g} + \frac{1}{2g} v_1^2 = h_2 + \frac{p_2}{d g} + \frac{1}{2g} v_2^2,
\]

Ogni addendo ha la dimensione di una lunghezza ed è denominato, rispettivamente, altezza geometrica \(h\), altezza piezometrica \(p/(dg)\) e altezza cinetica \(v^2/(2g)\). Poiché il ragionamento vale per qualsiasi coppia di sezioni lungo la stessa linea di flusso, la somma di tali contributi rimane costante:

\[
h + \frac{p}{d g} + \frac{v^2}{2 g} = \text{costante}.
\]

Moltiplicando la \[h + \frac{p}{d g} + \frac{v^2}{2 g} = \text{costante} \] per \(dg\) si ottiene un’utile interpretazione in termini di energia meccanica per unità di volume: \(p + dgh + \tfrac{1}{2} d v^2 = \text{costante}\). In assenza di variazioni di quota, l’aumento della velocità implica una diminuzione della pressione statica, principio alla base del funzionamento di condotti convergenti (Venturi) e di molte applicazioni ingegneristiche.

Per l’applicazione corretta del teorema sono essenziali le ipotesi sottostanti:

• moto stazionario, con grandezze indipendenti dal tempo alle sezioni considerate;
• fluido incomprimibile e non viscoso, così da trascurare dissipazioni e variazioni di densità;
• condotto indeformabile e privo di scambi di energia con l’esterno, salvo il lavoro di pressione e del peso;
• validità lungo una stessa linea di flusso; in flussi irrotazionali la costante può estendersi all’intero campo di moto.

Infine, nell’interpretazione idraulica, la “quota di carico” totale, somma di quota, pressione e velocità espresse come altezze, rappresenta il carico energetico disponibile del fluido; riduzioni reali di tale carico lungo il percorso si devono alle perdite di carico per attrito e a discontinuità, non considerate nella deduzione ideale qui presentata.

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Spostamento della massa di liquido in un condotto

La massa di liquido in posizione 1 si sposta nel condotto rigido fino alla posizione 2. In condizioni di regime stazionario ΔV = S₁ l₁ = S₂ l₂. Sul liquido agiscono le forze di pressione e la forza di gravità (forza peso). Le forze di pressione sono ortogonali alle sezioni del condotto.

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Spostamento della massa di liquido in un condotto

La massa di liquido in posizione 1 si sposta nel condotto rigido fino alla posizione 2. In condizioni di regime stazionario ΔV = S₁ l₁ = S₂ l₂. Sul liquido agiscono le forze di pressione e la forza di gravità (forza peso). Le forze di pressione sono ortogonali alle sezioni del condotto.

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