La legge di Faraday-Neumann-Lenz (V_i = - \frac{\Delta[\Phi(\mathbf{B})]}{\Delta t}) stabilisce che in un circuito nasce una f.e.m. indotta ogniqualvolta varia il flusso del vettore induzione magnetica concatenato con esso. Se un circuito è percorso da una corrente di intensità i, il campo magnetico prodotto dalla corrente determina un flusso concatenato con lo stesso circuito. In un’ampia classe di configurazioni, tale flusso risulta proporzionale alla corrente:

\[\Phi(\mathbf{B}) = L\, i\]

Il coefficiente L, dipendente dalla geometria del circuito e dalla permeabilità magnetica μ del mezzo, è il coefficiente di autoinduzione (o induttanza). Nel SI l’unità di misura è l’henry (H): \(1\,\text{H}\) corrisponde al caso in cui un flusso di \(1\,\text{Wb}\) è prodotto da \(1\,\text{A}\). Le dimensioni fisiche sono \([M\,L^2\,Q^{-2}]\). Se la corrente varia nel tempo, varia il flusso autoindotto e, per la legge di Lenz, sorge una f.e.m. che si oppone alla variazione di corrente. Combinando (V_i = - \frac{\Delta[\Phi(\mathbf{B})]}{\Delta t}) e (\Phi(\mathbf{B}) = L i) si ottiene:

\[V_i = -\,L\,\dfrac{\Delta i}{\Delta t}\],

dove il segno meno esprime l’opposizione della f.e.m. indotta alla causa che la origina. L dipende fortemente dal muto accoppiamento tra corrente e flusso: più è grande il flusso concatenato per una data corrente, maggiore è L. Alcune considerazioni utili:

• un conduttore rettilineo ripiegato su se stesso presenta induttanza trascurabile per scarsa concatenazione di flusso;
• un avvolgimento a solenoide fornisce grandi valori di L, con dipendenza approssimata \(L \approx \mu\,\dfrac{N^2 A}{\ell}\), dove N è il numero di spire, A la sezione, \(\ell\) la lunghezza dell’avvolgimento;
• l’inserimento di materiali ferromagnetici aumenta L poiché \(\mu = \mu_0 \mu_r\) cresce con la permeabilità relativa \(\mu_r\).

Esempio: per un solenoide in aria con \(N = 200\), \(A = 1{,}0 \times 10^{-4}\,\text{m}^2\), \(\ell = 5{,}0 \times 10^{-2}\,\text{m}\), \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\,\text{H/m}\), si ottiene \(L \approx 1{,}0 \times 10^{-4}\,\text{H}\) (circa \(100\,\mu\text{H}\)).

La presenza di un’induttanza in un circuito in corrente continua imprime al sistema un comportamento “inerziale” nei transitori. All’atto della chiusura di un circuito RL, la corrente non balza al valore di regime, ma cresce con legge esponenziale \(i(t) = I_{\infty}\,\bigl(1 - e^{-t/\tau}\bigr)\), con costante di tempo \(\tau = L/R\). In apertura, la corrente preesistente decade come \(i(t) = I_0\,e^{-t/\tau}\); data l’impossibilità dell’induttore di modificare istantaneamente la corrente, si possono generare sovratensioni di apertura per mantenere il passaggio di corrente, con effetti pratici noti come “extratensioni” o “extracorrenti” di autoinduzione.

Una corrente alternata è una corrente periodica dal valor medio nullo sul periodo. Nel seguito si considerano grandezze sinusoidali, che rappresentano il caso fondamentale sia teorico sia applicativo (produzione mediante induzione elettromagnetica), (Figura 07.06-01); trasformazione di tensione mediante trasformatori, (Figura 07.06-03). La corrente alternata sinusoidale si scrive:

\[I(t) = I_o \mathrm{sen} (\omega t + \phi),\]

dove \(I_0\) è il valore massimo, \(\omega = 2\pi/T = 2\pi \nu\) la pulsazione, \(\phi\) la fase iniziale, T il periodo e \(\nu = 1/T\) la frequenza. Alla corrente si associa una d.d.p. alternata della stessa frequenza:

\[V(t) = V_o \mathrm{sen} (\omega t + \phi').\]

con \(V_0\) ampiezza della d.d.p. e \(\phi'\) la fase relativa. Per impieghi di potenza si adottano i valori efficaci \(I_\text{rms} = I_0/\sqrt{2}\) e \(V_\text{rms} = V_0/\sqrt{2}\). In Europa la rete pubblica opera tipicamente a \(50\,\text{Hz}\) (tensione nominale 230 V; storicamente 220 V), mentre negli Stati Uniti la frequenza di rete è \(60\,\text{Hz}\).

Un circuito reale in alternata presenta in generale resistenza R, induttanza L e capacità C (Figura 07.06-02). Definendo le reattanze:

• \(X_L = \omega L\) (reattanza induttiva);
• \(X_C = 1/(\omega C)\) (reattanza capacitiva);
• l’impedenza complessiva è \(Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\).

Il rapporto tra l’ampiezza della tensione e quella della corrente definisce l’impedenza del circuito, misurata in ohm:

\[Z = \frac{V_o}{I_o} = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2},\]

dove \(R\) è il contributo resistivo, \(1/\omega C\) quello capacitivo e \(\omega L\) quello induttivo. Oltre al modulo Z, risulta essenziale l’angolo di sfasamento \(\varphi\) tra tensione e corrente, definito da \(\tan \varphi = \dfrac{\omega L - 1/(\omega C)}{R}\). Nella rappresentazione fasoriale, la corrente ritarda la tensione nei circuiti dominati dall’induttanza (φ positivo) e la precede in quelli dominati dalla capacità (φ negativo). Il valore di Z regola l’ampiezza della corrente per una data d.d.p.: a impedenza maggiore corrisponde corrente minore, e viceversa (si veda il confronto temporale di I e V, e le grandezze Z e φ in (Figura 07.06-02)).

Condizione notevole è la risonanza serie, quando \(\omega_0 = 1/\sqrt{LC}\): in tal caso \(X_L = X_C\) e \(Z = R\), con sfasamento nullo e massima corrente per data ampiezza di tensione. La potenza media assorbita è \(P = V_\text{rms}\, I_\text{rms}\, \cos \varphi\), dove \(\cos \varphi\) è il fattore di potenza.

Esempio numerico RLC (frequenza 60 Hz): siano \(R = 50\,\Omega\), \(L = 0{,}20\,\text{H}\), \(C = 10\,\mu\text{F}\), \(\omega = 2\pi \nu \approx 377\,\text{rad/s}\). Allora \(X_L = \omega L \approx 75{,}4\,\Omega\), \(X_C = 1/(\omega C) \approx 265\,\Omega\), differenza \(X_L - X_C \approx -189{,}6\,\Omega\). L’impedenza vale \(Z \approx \sqrt{50^2 + 189{,}6^2} \approx 196\,\Omega\). Con ampiezza di tensione \(V_0 = 100\,\text{V}\), si ha \(I_0 = V_0/Z \approx 0{,}51\,\text{A}\) e sfasamento \(\varphi \approx \arctan(-189{,}6/50) \approx -75^\circ\) (comportamento capacitivo prevalente).

Infine, l’induttore accumula energia nel campo magnetico: \(U = \tfrac{1}{2} L i^2\). Questo immagazzinamento, insieme alla f.e.m. autoindotta \(-L\,\mathrm{d}i/\mathrm{d}t\), spiega il ruolo dell’induttanza come “smorzatore” delle rapide variazioni di corrente e il suo impiego in filtraggio, rifasamento e limitazione dei transitori nei circuiti in corrente alternata.

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Generatore di f.e.m. alternata

Un generatore di f.e.m. alternata è schematicamente costituito da una spira piana di area S posta in rotazione in un campo magnetico uniforme. Se α è l’angolo formato dalla normale alla spira con la direzione del campo magnetico, il flusso di induzione concatenato con la spira è Φ(B) = S B cos α. Se la spira ruota con velocità angolare costante ω = α/t, allora Φ(B) è una funzione sinusoidale del tempo: Φ(B) = S B cos ωt e nella spira si induce una f.e.m.:  Vi=−ΔΦ/Δt=S B sen⁡ ωt =V0 sen⁡ ωt . A circuito aperto si manifesta una d.d.p. alternata. Se la spira viene chiusa su un circuito esterno, attraverso la spira e nel circuito esterno fluisce una corrente elettrica alternata.

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Schema di un trasformatore

Schema di un trasformatore. Con 1 è indicato il circuito solenoidale primario e con 2 quello secondario.

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Corrente e tensione in un circuito RLC

Corrente e tensione in un circuito contenente elementi ohmici, induttivi e capacitivi.(a) Il circuito RLC. (b) Rappresentazione nel tempo della corrente I (in rosso) e della d.d.p. V (tratteggio). I due andamenti hanno la stessa frequenza ma fase diversa (uno è ritardato rispetto all’altro).

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Corrente e tensione in un circuito RLC

Corrente e tensione in un circuito contenente elementi ohmici, induttivi e capacitivi.(a) Il circuito RLC. (b) Rappresentazione nel tempo della corrente I (in rosso) e della d.d.p. V (tratteggio). I due andamenti hanno la stessa frequenza ma fase diversa (uno è ritardato rispetto all’altro).

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