Equilibrio nei fluidi (gas e liquidi)
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Definizione
Un fluido in quiete, privo di moto relativo interno, si adatta al contenitore assumendone la forma. Le condizioni di equilibrio meccanico, valide per qualunque porzione infinitesima di fluido, implicano due proprietà fondamentali:
- in assenza di moto, le componenti di sforzo tangenziale sulla superficie di separazione sono nulle; diversamente gli strati scorrerebbero l’uno rispetto all’altro, contraddicendo l’ipotesi di equilibrio;
- la pressione in un punto P non dipende dall’orientazione dell’elemento di area che la misura (isotropia della pressione): se così non fosse, le forze sulle particelle in P avrebbero risultante non nulla.
Una conseguenza diretta è la legge di Pascal: una pressione applicata in un punto della superficie limite di un liquido si trasmette, senza attenuazione, a tutti i punti del fluido e alle altre porzioni della superficie di confine.
Se le forze di volume sono trascurabili, la pressione è uniforme e coincide con la pressione imposta sulla superficie di separazione. Se invece il fluido ha peso proprio, la pressione varia con la quota: in un liquido in quiete essa cresce con la profondità, perché ogni punto P risente sia della pressione trasmessa dalla superficie sia del contributo dovuto alla colonna di liquido sovrastante (Figura 03.02-01). Tale contributo, dovuto alle forze di gravità, si denomina pressione idrostatica. Vogliamo quindi determinare la pressione a una profondità h rispetto alla superficie libera di un liquido omogeneo di densità d.
Consideriamo un elemento di area orizzontale ΔS che contenga il punto P. Sull’elemento agisce la forza peso della colonna di liquido di volume ΔS h. Il suo peso è p = m g, con m = V d = d ΔS h. La pressione idrostatica in P risulta pertanto (legge di Stevino):
\[
p = \frac{mg}{\Delta S} = \frac{d \Delta S h g}{\Delta S} = d g h
\]
Per isotropia, il valore ottenuto vale per qualunque elemento di area orizzontale che attraversi P; all’equilibrio, quindi, p dipende solo dalla profondità h. In forma differenziale la condizione di equilibrio idrostatico lungo la verticale z (positiva verso l’alto) è \( \frac{dp}{dz} = - d g \); integrando tra la superficie libera (p = p_0) e la quota z = -h si ottiene \( p = p_0 + d g h \).
Un esempio rilevante è l’atmosfera: la pressione al suolo è l’effetto idrostatico della colonna d’aria sovrastante. Per i gas, tuttavia, la densità non è costante e diminuisce fortemente con la quota; il profilo verticale della pressione segue la nota legge barometrica in condizioni ideali isoterme. Poiché la pressione idrostatica dipende da g, essa varia con il campo gravitazionale: sulla Luna g è circa sei volte minore rispetto alla Terra, mentre in microgravità (p.es. a bordo della Stazione Spaziale Internazionale) il contributo idrostatico tende a trascurarsi, con ricadute fisiologiche sul bilancio dei fluidi corporei e sul sistema cardiovascolare.
La relazione \[ p = \frac{mg}{\Delta S} = \frac{d \Delta S h g}{\Delta S} = d g h\] permette di introdurre e confrontare unità pratiche di pressione di largo impiego in fisiologia, clinica e ingegneria biomedica:
- mm di mercurio (mmHg), o torr: pressione esercitata alla base da una colonna di mercurio alta 1 mm;
- cm di acqua (cmH₂O): pressione esercitata alla base da una colonna di acqua alta 1 cm;
- atmosfera (atm): uguale a 760 mmHg, corrispondente convenzionalmente alla pressione dell’aria al livello del mare a 0 °C;
- grammo peso/cm²: pressione generata dalla forza peso di 1 grammo distribuita su 1 cm²;
- bar: pari a 10⁵ pascal, già di uso comune in meteorologia e tecnica.
Le equivalenze si ricavano da p = d g h e dalle densità d(mercurio) = 13,6 g/cm³ e d(acqua) = 1 g/cm³, con g ≈ 980 cm/s² (unità cgs):
\[
\begin{align*}
\text{1 atmosfera} &= 760 \text{ mmHg} = dgh = 13.6 \text{ g cm}^{-3} 980 \text{ cm s}^{-2} 76 \text{ cm} = \\
&= 1.012 \cdot 10^6 \text{ barie} = 1.012 \cdot 10^5 \text{ pascal} = \\
&= 1.012 \cdot 10^6 / 980 \text{ g}_{\text{peso}} \text{ cm}^{-2} = 1033 \text{ g}_{\text{peso}} \text{ cm}^{-2} = 0.988 \text{ bar} \\
\text{1 cmH}_2\text{O} &= dgh = 1 \text{ g cm}^{-3} 980 \text{ cm s}^{-2} 1 \text{ cm} = 980 \text{ barie} = \\
&= 980 (760/1.012 \cdot 10^6) \text{ mmHg} = 0.73 \text{ mmHg},
\end{align*}
\]
Ne segue che il rapporto tra 1 cmH₂O e 1 mmHg rispecchia il rapporto tra le densità dell’acqua e del mercurio. Come esempio numerico applicativo, a 2,5 m di profondità in acqua dolce la sovrappressione idrostatica è \( p - p_0 = d g h \approx 1000\ \text{kg m}^{-3} \cdot 9,80\ \text{m s}^{-2} \cdot 2,5\ \text{m} \approx 24,5\ \text{kPa} \), ossia circa 184 mmHg.
Se un corpo solido è immerso in un liquido, la distribuzione di pressione sulla sua superficie genera una risultante non nulla. Si enuncia così il principio di Archimede: un corpo immerso in un fluido subisce una spinta verticale, diretta verso l’alto, di intensità uguale al peso del fluido spostato. Il punto di applicazione della spinta coincide con il baricentro del volume di fluido spostato (Figura 03.02-02).
Indicando con d la densità del liquido, con V il volume spostato e con m la massa del fluido spostato, la spinta vale:
\[
S_A = p_2 S - p_1 S = d g h_2 S - d g h_1 S = d g S (h_2 - h_1) = d g S \Delta h = d g V = m g
\]
La spinta emerge perché la pressione aumenta con la profondità: le porzioni inferiori della superficie del corpo sono soggette a pressioni maggiori di quelle superiori (Figura 03.02-02). Alcune implicazioni:
- un corpo affonda se la sua densità media supera quella del fluido, galleggia in caso contrario;
- la stabilità al galleggiamento richiede, in prima approssimazione, che il baricentro del corpo si collochi al di sotto del baricentro del volume spostato; in caso contrario il corpo tende a rovesciarsi fino a raggiungere un assetto stabile;
- gli stessi ragionamenti si applicano ai gas, sostituendo opportunamente la densità del fluido circostante: ad esempio, un pallone aerostatico ascende se la densità del gas interno è minore di quella dell’aria ambiente.
Infine, dalla legge di Stevino discende il principio dei vasi comunicanti: un liquido omogeneo in due recipienti collegati raggiunge il medesimo livello in condizioni statiche. Ciò vale in assenza di differenze di pressione esterna e trascurando effetti di tensione superficiale e capillarità, che diventano rilevanti in condotti di piccolo diametro.
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