Equilibrio di un corpo rigido
Definizione
Per affrontare le condizioni d’equilibrio, è utile richiamare il concetto di momento di una forza rispetto a un punto O. Consideriamo un solido rigido, ossia un sistema ideale che non subisce deformazioni sotto l’azione delle forze applicate, sul quale agisce una forza vettoriale \(\mathbf{F}\) applicata nel punto A; O è un punto arbitrario dello spazio, come indicato in (Figura 02.11-01). Il momento della forza \(\mathbf{F}\) rispetto a O è il prodotto vettoriale tra il vettore posizione di A rispetto a O e la forza:
\[ \mathbf{M} = \overrightarrow{OA} \times \mathbf{F}. \]
Il modulo di \(\mathbf{M}\) risulta:
\[ M = F\,\overline{OA}\,\sin\varphi = F\,b, \]
dove \(\varphi\) è l’angolo tra \(\overrightarrow{OA}\) e \(\mathbf{F}\), e \(b\) è la distanza perpendicolare (braccio) tra O e la retta d’azione della forza \(\mathbf{F}\) (Figura 02.11-01). Il verso del momento è stabilito dalla regola della mano destra, ortogonale al piano individuato da \(\overrightarrow{OA}\) e \(\mathbf{F}\). Se \(b=0\) (ossia O giace sulla retta d’azione) o se \(\varphi=0\) o \(\pi\), il momento è nullo e la forza non tende a generare rotazione attorno a O; viceversa, per \(M\neq 0\) si ha tendenza al moto rotatorio.
Nel Sistema Internazionale l’unità di misura del momento è il newton metro (N·m). Sebbene la dimensione coincida con quella del lavoro meccanico, il momento non è un’energia: per chiarezza si usa N·m per i momenti e J (joule) per il lavoro, evitando qualsiasi interscambio terminologico.
Scrivendo \(\overrightarrow{OA}=(x,y,z)\) e \(\mathbf{F}=(F_x,F_y,F_z)\), le componenti del momento sono:
\[ \begin{aligned} M_x &= yF_z - zF_y,\\ M_y &= zF_x - xF_z,\\ M_z &= xF_y - yF_x. \end{aligned} \]
In un problema planare (forze e punti giacciono in un piano), il momento ha un’unica componente non nulla, perpendicolare al piano stesso.
Passiamo ora alle condizioni di equilibrio. Per un punto materiale, l’equilibrio richiede che la risultante delle forze sia nulla:
\[ \mathbf{F}_1 + \mathbf{F}_2 + \mathbf{F}_3 + \dots = \sum_i \mathbf{F}_i = \mathbf{R} = \mathbf{0}. \]
Per un corpo rigido esteso, tale condizione non è sufficiente: un sistema di forze può avere risultante nulla e generare comunque una rotazione. Il caso tipico è quello di due forze uguali e opposte, parallele e con linee d’azione distinte: la risultante è zero, ma il loro effetto complessivo costituisce una coppia con momento non nullo (Figura 02.11-02). Pertanto, alla condizione di equilibrio traslazionale si affianca la condizione di equilibrio rotazionale, che richiede la nullità della somma dei momenti di tutte le forze rispetto a uno stesso polo O (Figura 02.11-03):
\[ \mathbf{M}_1 + \mathbf{M}_2 + \mathbf{M}_3 + \dots = \sum_i \mathbf{M}_i = \mathbf{M}_T = \mathbf{0}. \]
Le due relazioni vettoriali, tradotte nelle componenti cartesiane, forniscono complessivamente 3 condizioni scalari sulla risultante e 3 condizioni scalari sui momenti, per un totale di 6 equazioni indipendenti che garantiscono l’equilibrio statico in tre dimensioni.
Osservazioni utili:
- Principio di Varignon: il momento della risultante di un sistema di forze rispetto a O è uguale alla somma dei momenti delle singole forze rispetto allo stesso punto;
- Scelta del polo: se la risultante è nulla, la somma dei momenti è indipendente dal polo. Infatti, passando da O a O′ vale \(\sum \mathbf{M}_{O'} = \sum \mathbf{M}_{O} + \overrightarrow{O'O}\times \sum \mathbf{F}\); se \(\sum \mathbf{F}=\mathbf{0}\), allora \(\sum \mathbf{M}_{O'}=\sum \mathbf{M}_{O}\);
- Coppia di forze: due forze parallele, uguali e opposte con linee d’azione distinte costituiscono una coppia. La coppia ha risultante nulla e momento \(\mathbf{M}_C\) costante indipendentemente dal polo; nel caso piano, il modulo è \(M_C = F\,d\), con \(d\) distanza tra le linee d’azione.
Esempi didattici:
- Sistema con risultante nulla ma momento non nullo (assenza di equilibrio): due forze di modulo \(F=50\ \text{N}\), parallele e opposte, agiscono su una sbarra orizzontale con linee d’azione distanziate di \(d=0,60\ \text{m}\). La risultante è \(\mathbf{0}\), ma il momento della coppia vale \(M_C = F\,d = 30\ \text{N·m}\), quindi il corpo tende a ruotare (Figura 02.11-02);
- Sistema in equilibrio completo: consideriamo una piastra rettangolare nel piano \(xy\) con vertici A(0,0), B(0,0,5), C(1,0,5), D(1,0). Applicare quattro forze coplanari: \(\mathbf{F}_1=(40,0,0)\ \text{N}\) in A; \(\mathbf{F}_2=(-40,0,0)\ \text{N}\) in C; \(\mathbf{F}_3=(0,20,0)\ \text{N}\) in B; \(\mathbf{F}_4=(0,-20,0)\ \text{N}\) in D. La somma delle forze è nulla. I momenti rispetto a O≡A risultano: \(M_{z,1}=0\); \(M_{z,2}=x_C F_{y,2} - y_C F_{x,2} = 1\cdot 0 - 0,5\cdot(-40)=20\ \text{N·m}\); \(M_{z,3}=0\); \(M_{z,4}=x_D F_{y,4} - y_D F_{x,4} = 1\cdot(-20) - 0\cdot 0 = -20\ \text{N·m}\). La somma dei momenti è nulla, dunque la piastra è in equilibrio (Figura 02.11-03).
In sintesi, per un corpo rigido le condizioni necessarie e sufficienti di equilibrio statico sono: (i) annullare la risultante delle forze (equilibrio traslazionale); (ii) annullare la risultante dei momenti rispetto a un punto qualsiasi (equilibrio rotazionale). In tre dimensioni, tali requisiti si traducono in 6 equazioni scalari indipendenti; in problemi piani, le equazioni si riducono a 3 (due per le forze nel piano, una per il momento uscente dal piano).
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