Diottro

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(by Test Ammissione)

Diottro

L’Ottica geometrica descrive la propagazione della luce assumendo che la lunghezza d’onda sia trascurabile rispetto alle dimensioni dei dispositivi considerati. In tale quadro la radiazione viene trattata come un fascio di raggi che obbediscono a leggi semplici e altamente predittive. Sono assunti i seguenti principi fondamentali:

in un mezzo omogeneo e isotropo i raggi luminosi si propagano rettilineamente;
raggi differenti possono intersecarsi senza influenzarsi reciprocamente, cosicché l’intensità e il percorso di ciascun raggio restano invariati;
il cammino del raggio è reversibile: l’itinerario seguito non dipende dal verso di propagazione;
tra tutti i cammini otticamente percorribili tra due punti, la luce seleziona quello che minimizza il tempo di percorrenza, secondo il principio di Fermat (tempo ottico minimo).

In ambito biomedico i sistemi ottici coinvolgono quasi sempre passaggi tra mezzi con indici di rifrazione diversi; di conseguenza, l’elemento concettuale primario è la rifrazione alla superficie di separazione. In ciò che segue analizzeremo la rifrazione su superfici di separazione, richiamando le leggi di Snell.

Si definisce diottro l’insieme costituito da due mezzi otticamente distinti (indici di rifrazione diversi) separati da una superficie. Se la superficie è porzione di sfera si parla di diottro sferico, uno dei modelli più semplici e utili in ottica. Un sistema si dice stigmatico se un punto oggetto P viene riprodotto come punto immagine P′, vale a dire se tutti i raggi emergenti da P, dopo rifrazioni o riflessioni, convergono esattamente in P′ (Figura 07.38-01). Il diottro sferico è rigorosamente stigmatico soltanto entro specifiche approssimazioni.

Lo schema di riferimento è mostrato in (Figura 07.38-02): V è il vertice della calotta sferica; l’asse p–q è l’asse ottico; C indica il centro di curvatura ed R il raggio della calotta; n₁ è l’indice dello spazio oggetto e n₂ quello dello spazio immagine. Per convenzione si assumono assi orientati in modo opposto per misurare le distanze dal vertice V: la coordinata p (spazio oggetto) verso sinistra, la coordinata q (spazio immagine) verso destra. Il raggio di curvatura R è positivo se la calotta è convessa verso lo spazio oggetto (Figura 07.38-02), negativo nel caso contrario.

Imporremo le approssimazioni di Gauss, che limitano l’analisi a raggi prossimi all’asse ottico e a porzioni ridotte della superficie sferica:

la porzione della calotta investita dai raggi è piccola rispetto a R (segmento VT piccolo);
i raggi formano angoli piccoli con l’asse ottico (raggi parassiali), ossia gli angoli considerati sono sufficientemente piccoli da consentire linearizzazioni.

In tali condizioni il diottro sferico risulta stigmatico e si ottiene una relazione tra la distanza p del punto oggetto P sull’asse ottico e la distanza q del punto immagine P′, indipendente dall’angolo di incidenza del singolo raggio. Applicando le leggi della rifrazione allo schema in (Figura 07.38-02) si parte dalla legge di Snell:

\[n_1 \ \mathrm{sen}\,\hat{i} = n_2 \ \mathrm{sen}\,\hat{r}.\]

Indicando con i l’angolo di incidenza e con r l’angolo di rifrazione rispetto alla normale alla superficie nel punto di incidenza, dalla geometria del problema si ha \(i=\alpha+\beta\) e \(r=\beta-\gamma\). Per somma e differenza di angoli:

\[\mathrm{sen}\,\hat{i} = \mathrm{sen}(\alpha+\beta) = \mathrm{sen}\,\alpha \cos \beta + \mathrm{sen}\,\beta \cos \alpha\]

\[\mathrm{sen}\,\hat{r} = \mathrm{sen}(\beta - \gamma) = \mathrm{sen}\,\beta \cos \gamma - \mathrm{sen}\,\gamma \cos \beta.\]

Nel regime parassiale gli angoli α, β e γ sono piccoli; pertanto, entro la prima approssimazione di Gauss, si pongono:

\[\cos \alpha \approx \cos \beta \approx \cos \gamma \approx 1,\]

e, trascurando lo spessore sagitale locale (VT ≈ 0), si deducono le approssimazioni lineari per i seni degli angoli tramite i triangoli simili:

\[\mathrm{sen}\,\alpha \approx \frac{h}{p},\, \mathrm{sen}\,\beta \approx \frac{h}{R},\, \mathrm{sen}\,\gamma \approx \frac{h}{q}.\]

Sostituendo, si ottiene la relazione coniugata oggetto–immagine del diottro sferico:

\[\frac{n_1}{p} + \frac{n_2}{q} = \frac{n_2 - n_1}{R},\]

nota come formula dei punti coniugati. Introducendo il potere rifrattivo della superficie \(\Phi = \dfrac{n_2-n_1}{R}\) (in diottrie se le lunghezze sono in metri), l’equazione assume la forma compatta \( \dfrac{n_1}{p} + \dfrac{n_2}{q} = \Phi\). Tale scrittura evidenzia il ruolo geometrico della curvatura e quello fisico del salto di indice.

Entro le stesse approssimazioni, i punti immagine di tutti i punti di un oggetto piano perpendicolare all’asse ottico giacciono su un piano immagine anch’esso perpendicolare all’asse. La costruzione grafica si basa su pochi punti notevoli del diottro. Il centro di curvatura C (Figura 07.38-03) è tale che i raggi passanti per C non deviano all’attraversamento della superficie sferica, poiché incidono ortogonalmente alla calotta. Il secondo fuoco F₂ è il punto di convergenza dei raggi provenienti dallo spazio oggetto paralleli all’asse ottico; corrisponde all’immagine di un punto posto all’infinito lungo l’asse. In modo reciproco, il primo fuoco F₁ è il punto dell’asse nello spazio oggetto la cui immagine è all’infinito (Figura 07.38-03). Le distanze focali orientate f₁ e f₂ dipendono da indici e raggio di curvatura e soddisfano:

\[\frac{f_1}{f_2} = \frac{n_1}{n_2},\]

che lega le focali ai mezzi costituenti il diottro, e anche la forma normalizzata della relazione coniugata:

\[\frac{f_1}{p} + \frac{f_2}{q} = 1.\]

Un caso importante è il diottro piano, ottenuto per R → ∞. In tal limite si riduce a:

\[\frac{n_1}{p} + \frac{n_2}{q} = 0\]

da cui segue immediatamente:

\[q = - \frac{n_2}{n_1} p\]

La conseguenza fisica è che l’immagine di un oggetto osservato attraverso una superficie piana si colloca dallo stesso lato dell’oggetto quando la quota di indice del mezzo di osservazione è maggiore, e viceversa si avvicina o si allontana in proporzione al rapporto degli indici. Esempi didatticamente equivalenti:

osservazione dall’aria (n ≈ 1,00) di una moneta posta sotto una lastra di vetro crown (n ≈ 1,50): per un punto della moneta a p = 12,0 cm sotto la superficie, l’immagine apparente è a \(q \approx -\frac{1,00}{1,50}\cdot 12,0 = -8,0\) cm, cioè più vicina all’osservatore del fattore 0,67;
osservazione dall’interno di un mezzo plastico (n ≈ 1,49) verso un oggetto posto nell’aria: per p = 4,0 cm, l’immagine apparente è a \(q \approx -\frac{1,00}{1,49}\cdot 4,0 \approx -2,7\) cm, ossia l’oggetto appare più lontano del rapporto 1,49.

Questi risultati sono coerenti con la previsione e con la convenzione dei segni adottata. Nella pratica bio‑ottica, ad esempio nella visione a contatto con interfacce cornea–aria o cornea–lacrima, la posizione apparente delle strutture è influenzata in modo analogo dal salto d’indice.

Infine, poiché le approssimazioni parassiali sono solo approssimate nei sistemi reali, l’immagine di un punto non è perfettamente puntiforme: insorgono aberrazioni (sferica, coma, astigmatismo, curvatura di campo, distorsione), che quantificano la deviazione dal comportamento ideale e richiedono correzioni progettuali o l’uso di aperture ridotte.

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