Una grandezza fisica è una proprietà di un sistema o di un fenomeno a cui si può attribuire un valore mediante una misura. Misurare significa effettuare un confronto tra la grandezza in esame e un campione della stessa natura scelto come unità; l’esito dell’operazione è un numero che indica quante volte la grandezza contiene l’unità, associato al nome dell’unità stessa. Per esempio, per la grandezza “lunghezza” si fissano un’unità adeguata (metro, centimetro) e una procedura operativa per confrontare la lunghezza da determinare con il campione. Il risultato è del tipo 2,36 m, dove 2,36 è il rapporto numerico e “m” l’unità coerente.

Il confronto con il campione può essere diretto, come nel caso di una misura con riga o calibro, oppure indiretto quando la grandezza è troppo grande, troppo piccola o non direttamente accessibile. In tali circostanze si ricorre a relazioni fisiche che collegano la grandezza cercata ad altre grandezze misurabili in modo diretto, come accade nella triangolazione di distanze astronomiche tramite angoli o nell’interferometria per lunghezze estremamente piccole.

Stabilita l’unità di lunghezza, è naturale introdurre unità derivate per grandezze geometriche correlate. L’unità di area è l’area del quadrato di lato pari all’unità di lunghezza; l’unità di volume è il volume del cubo con spigolo pari alla stessa unità. Le dimensioni, cioè la dipendenza da potenze delle grandezze fondamentali, per superficie \( S \) e volume \( V \) sono rispettivamente: \( [S] = [L^2] \) e \( [V] = [L^3] \).

Ogni legge fisica collega fra loro più grandezze; scegliendo alcune di esse come fondamentali, tutte le altre possono essere espresse come grandezze derivate. Nella Meccanica si assumono tipicamente come fondamentali massa \([M]\), lunghezza \([L]\) e tempo \([t]\). Queste non sono definibili in termini di grandezze più elementari: acquisiscono significato tramite le loro procedure di misura. Grandezze come velocità, accelerazione, forza, lavoro o pressione risultano invece derivate. Per esempio, la velocità è il rapporto tra spazio percorso e tempo impiegato, per cui la sua equazione dimensionale è \( [v] = [L][t^{-1}] \).

Analogamente si ottengono, a titolo esemplificativo, le dimensioni di altre grandezze meccaniche: \( [a] = [L][t^{-2}] \) per l’accelerazione, \( [F] = [M][L][t^{-2}] \) per la forza, \( [p] = [M][L^{-1}][t^{-2}] \) per la pressione.

Quando intervengono fenomeni non puramente meccanici, è necessario introdurre ulteriori grandezze fondamentali. Nello studio dell’elettricità, la corrente elettrica \([I]\) è assunta come quarta grandezza fondamentale. Più in generale, secondo il Sistema Internazionale di Unità (SI), l’insieme completo delle grandezze di base è il seguente:

• lunghezza \([L]\), unità: metro (m);
• massa \([M]\), unità: chilogrammo (kg);
• tempo \([t]\), unità: secondo (s);
• corrente elettrica \([I]\), unità: ampere (A);
• temperatura termodinamica \([\Theta]\), unità: kelvin (K);
• quantità di sostanza \([N]\), unità: mole (mol);
• intensità luminosa \([J]\), unità: candela (cd).

Data una grandezza \( X \), la sua equazione dimensionale esprime come \( X \) dipenda dalle potenze delle grandezze fondamentali prescelte. Nell’ipotesi di meccanica ed elettricità:

(Formula 01.02-01)

\[ [X] = [M^{a}][L^{b}][t^{c}][I^{d}] \]

dove \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) sono numeri (anche negativi o frazionari) che indicano le potenze con cui intervengono le grandezze fondamentali. In un quadro SI pienamente generale si può scrivere anche: \[ [X] = [M^{a}][L^{b}][t^{c}][I^{d}][\Theta^{e}][N^{f}][J^{g}] \] con \(e\), \(f\), \(g\) ulteriori esponenti per temperatura, quantità di sostanza e intensità luminosa.

Il principio di omogeneità dimensionale richiede che in ogni relazione fisica tutti i termini abbiano le stesse dimensioni: soltanto grandezze omogenee possono essere sommate o poste uguali. Il controllo dimensionale costituisce quindi un test robusto di coerenza: una relazione che non è omogenea è certamente errata. Va ricordato, tuttavia, che l’omogeneità dimensionale è condizione necessaria ma non sufficiente per garantire la correttezza fisica di una legge.

Talune grandezze sono adimensionali, cioè la loro equazione dimensionale è \( [1] \). Esempi rilevanti sono gli angoli piano e solido (il radiante e lo steradiante sono unità coerenti ma prive di dimensione), i coefficienti di attrito e molti numeri caratteristici della fisica (ad esempio, numeri di Reynolds o Mach).

Esempio applicativo. Si consideri la legge del periodo del pendolo semplice \( T = 2\pi \sqrt{L/g} \). Le dimensioni di \( L \) sono \([L]\), mentre \( g \) ha dimensioni \([L][t^{-2}] \). Ne segue: \[ \begin{aligned} [T] &= \left[ \sqrt{\frac{L}{g}} \right] = \left[ \sqrt{\frac{L}{L\,t^{-2}}} \right] = \left[ \sqrt{t^{2}} \right] = [t], \end{aligned} \] in accordo con l’interpretazione di \( T \) come tempo. Un secondo esempio: una velocità di 100,0 km/h corrisponde a 27,8 m/s; la conversione tra unità diverse mantiene invariata la dimensione \( [L][t^{-1}] \).