Centro di massa e baricentro
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Definizione
Si consideri un insieme di particelle materiali con massa totale pari a:
\[ M = m_1 + m_2 + m_3 + \dots = \sum_i m_i \]
Indichiamo con \(r_i\) il vettore posizione della i‑esima particella rispetto a un’origine arbitraria. La posizione del centro di massa (CM) è il vettore \(r_{\mathrm{CM}}\) che soddisfa:
\[ M\, r_{\mathrm{CM}} = m_1 r_1 + m_2 r_2 + m_3 r_3 + \dots = \sum_i m_i r_i \]
Per un sistema di due particelle, la relazione precedente si riduce a:
\[ r_{\mathrm{CM}} = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2}{m_1 + m_2} = \frac{m_1}{M} r_1 + \frac{m_2}{M} r_2 \]
Un corpo esteso può essere concettualmente suddiviso in piccoli elementi di volume adiacenti (Figura 02.13-01), ciascuno con massa \(m_i\). Nel limite continuo, la definizione conduce alla forma integrale \[ r_{\mathrm{CM}} = \frac{1}{M}\int r\, \mathrm{d}m, \] con \(M=\int \mathrm{d}m\). Se la densità volumica è \(\rho(r)\), allora \(\mathrm{d}m=\rho(r)\,\mathrm{d}V\) e \[ r_{\mathrm{CM}}=\frac{1}{M}\int_V \rho(r)\, r\, \mathrm{d}V. \] Per lamine sottili con densità areica \(\sigma(r)\) si usa in modo analogo \(\mathrm{d}m=\sigma(r)\,\mathrm{d}A\). Tali integrali si calcolano analiticamente quando possibile, oppure numericamente.
Nel caso di due masse \(m_1\) e \(m_2\) su una stessa retta, distanti \(\delta\), scegliendo l’origine nel centro di massa si ha \(r_{\mathrm{CM}}=0\) e dunque:
\[ m_1(-r_1) + m_2 r_2 = 0 \]
da cui segue la proporzionalità inversa tra distanze e masse:
\[r_1 / r_2 = m_2 / m_1\]
Poiché vale inoltre
\[ r_1 + r_2 = \delta \]
si ottengono immediatamente le distanze: \[ r_1 = \frac{m_2}{m_1+m_2}\,\delta,\qquad r_2 = \frac{m_1}{m_1+m_2}\,\delta. \]
Esempio numerico. Se \(m_1=3,0\ \mathrm{kg}\), \(m_2=2,0\ \mathrm{kg}\) e \(\delta=1,2\ \mathrm{m}\), allora \(r_1 = 0,48\ \mathrm{m}\) e \(r_2 = 0,72\ \mathrm{m}\); la massa maggiore risulta più vicina al centro di massa, come previsto.
La forza peso su un corpo di massa totale \(M\) è la risultante delle forze peso elementari agenti sulle sue particelle. Si definisce centro di gravità, o baricentro, il punto di applicazione della risultante delle forze peso. La sua coordinata vettoriale \(r_B\) è definita pesando le posizioni con le forze peso:
\[M g r_{\mathbf{B}} = m_1 g r_1 + m_2 g r_2 + m_3 g r_3 + \dots = \sum_{i} m_i g r_i\]
Se l’accelerazione di gravità è uniforme nello spazio occupato dal corpo, il fattore \(g\) si semplifica e si ha \(r_B = r_{\mathrm{CM}}\). Quando il campo gravitazionale varia sensibilmente da punto a punto (ad esempio per corpi molto estesi o in prossimità di forti gradienti di gravità), baricentro e centro di massa non coincidono in generale.
Il baricentro può essere individuato sperimentalmente con semplici metodi di equilibrio:
- bilanciamento su un fulcro: per un’asta omogenea, il punto di appoggio in cui l’asta resta in equilibrio orizzontale individua il baricentro;
- sospensione: appendendo un corpo a un perno libero di ruotare, in equilibrio stabile il baricentro giace sulla verticale del punto di sospensione; ripetendo la sospensione da un secondo punto, l’intersezione delle due verticali fornisce la posizione del baricentro (Figura 02.13-02).
Alcune proprietà utili, ampiamente impiegate in meccanica classica:
- il moto del centro di massa obbedisce alla seconda legge di Newton nella forma \(M\, a_{\mathrm{CM}} = \sum F_{\text{est}}\); le forze interne si cancellano per la terza legge di Newton;
- in assenza di forze esterne, l’impulso totale si conserva e il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme;
- per corpi omogenei con assi o piani di simmetria, il centro di massa coincide con l’intersezione di tali simmetrie (ad esempio, al centro geometrico di una sfera o al punto medio di un segmento omogeneo);
- per corpi composti, il centro di massa si ottiene come media pesata dei centri di massa dei singoli componenti, usando come pesi le rispettive masse.
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