Nella dinamica delle traslazioni, l’azione delle forze e i corrispondenti moti possono essere studiati separatamente lungo gli assi cartesiani x, y e z, poiché le componenti risultano indipendenti. Passiamo ora ai moti di rotazione dei corpi rigidi. Le rotazioni di un corpo esteso sono generate da momenti di forza non nulli. In modo del tutto analogo a quanto accade per le traslazioni, dove una forza \( \mathbf{F} \) modifica lo stato di moto lineare secondo il secondo principio della dinamica, il momento di una forza \( \mathbf{M} \) produce la variazione dello stato di moto angolare del corpo, costituendo il secondo principio della dinamica rotazionale. Con le dovute corrispondenze, leggi e principi della dinamica rotatoria rispecchiano quelli della dinamica traslatoria già esposti; tuttavia, a differenza del caso lineare, la rotazione coinvolge intrinsecamente le tre dimensioni, poiché il momento di forza è definito da un prodotto vettoriale \( \mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} \), che accoppia le componenti lungo x, y e z, rendendo l’analisi più articolata.

È istruttivo confrontare le relazioni del moto traslatorio, e con quelle del moto rotatorio (Tabella 02.14-01), introducendo le sostituzioni di variabili cinematiche e dinamiche che seguono:

• spostamento lineare \( s \) con spostamento angolare \( \theta \);
• velocità lineare \( v \) con velocità angolare \( \omega \);
• accelerazione lineare \( a \) con accelerazione angolare \( \alpha \);
• forza \( \mathbf{F} \) con momento della forza \( \mathbf{M} \);
• quantità di moto lineare \( q = m v \) con momento angolare \( L \);
• massa inerziale \( m \) con momento di inerzia \( I \);
• energia cinetica traslatoria \( E_{k,\text{trasl}} \) con energia cinetica rotatoria \( E_{k,\text{rot}} \).

\[a = \Delta v / \Delta t\]

 l'accelerazione angolare 

\[\boldsymbol{\alpha}^{(2)} = \Delta \boldsymbol{\omega} / \Delta t\]

Dal punto di vista dinamico, la corrispondenza si completa con le relazioni fondamentali \[ \sum \mathbf{F} = m\,\mathbf{a}, \quad \sum \mathbf{M} = \frac{d\mathbf{L}}{dt}, \] dove il momento angolare di un sistema di particelle è \( \mathbf{L} = \sum_i \mathbf{r}_i \times \mathbf{p}_i \). Per un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso, si ottiene la forma scalare \[ \sum M = I\,\alpha, \quad L = I\,\omega, \] con \( I \) momento di inerzia rispetto all’asse considerato.

Nel moto rotatorio la grandezza inerziale che sostituisce la massa è il momento di inerzia, definito per un sistema discreto come \[ I = \sum_i m_i\, r_i^2, \] dove \( r_i \) è la distanza della massa elementare \( m_i \) dall’asse di rotazione. Per una distribuzione continua, la definizione si estende a \[ I = \int r^2 \, dm. \] Il valore di \( I \) dipende sia dalla geometria sia da come la massa è distribuita rispetto all’asse: per questo va determinato caso per caso, come illustrato in (Figura 02.14-01). È spesso utile il teorema degli assi paralleli (Huygens–Steiner), \[ I = I_{\text{cm}} + m d^2, \] che collega il momento di inerzia rispetto a un asse passante per un punto qualsiasi con quello rispetto a un asse parallelo passante per il centro di massa, a distanza \( d \).

Le analogie si riflettono anche nelle espressioni energetiche. All’energia cinetica traslatoria \( E_{k,\text{trasl}} = \tfrac{1}{2} m v^2 \) corrisponde l’energia cinetica di rotazione \[ E_{k,\text{rot}} = \tfrac{1}{2} I \omega^2. \] In presenza di rotolamento senza strisciamento, l’energia totale del corpo combina i due contributi, \( E_k = \tfrac{1}{2} m v^2 + \tfrac{1}{2} I \omega^2 \), con il vincolo cinematica \( v = \omega R \) per un raggio \( R \).

La conservazione della quantità di moto lineare nelle traslazioni trova il suo omologo nella conservazione del momento angolare: in un sistema isolato, privo di momenti esterni risultanti, il momento angolare totale \( \mathbf{L} \) si mantiene costante. Un esempio didattico è fornito da un astronauta in assenza di gravità che stringe un braccio al corpo mantenendo l’altro disteso: la ridistribuzione della massa riduce il momento di inerzia rispetto al proprio asse principale e, poiché \( L = I \omega \) si conserva in assenza di coppie esterne apprezzabili, la velocità angolare \( \omega \) aumenta per compensare la diminuzione di \( I \). Un comportamento analogo si osserva su uno sgabello girevole quando si avvicinano al tronco due pesi tenuti in mano.

In (Tabella 02.14-01) sono affiancate le relazioni fondamentali della dinamica traslatoria e di quella rotatoria, mettendo in evidenza le corrispondenze tra grandezze cinematiche, dinamiche ed energetiche. Sebbene la dinamica rotazionale rivesta un ruolo significativo anche nei movimenti biologici, i lavori e le energie in gioco possono risultare, in molti contesti applicativi, di ordine di grandezza minore rispetto ai contributi traslatori; per questa ragione e per la maggiore complessità che deriva dall’accoppiamento tridimensionale delle rotazioni, essa non verrà sviluppata oltre in questo testo.

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Momenti di inerzia

Momenti di inerzia per corpi di varie geometrie e con diversi assi di rotazione (m massa del corpo).

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