Capacità di un conduttore. Condensatore
Definizione
Dal punto di vista elettrico, i materiali vengono classificati in conduttori, isolanti (dielettrici) e semiconduttori. La distinzione dipende dalla disponibilità di portatori di carica liberi di muoversi sotto l’azione di un campo elettrico:
- Conduttori: contengono cariche libere mobili all’interno del materiale; nei metalli i portatori sono elettroni di conduzione, mentre nei conduttori elettrolitici (soluzioni acquose di sali, acidi o basi) i portatori sono ioni positivi e negativi derivanti dalla dissociazione dell’elettrolita;
- Isolanti (dielettrici): sono privi, o quasi, di cariche libere disponibili alla conduzione; la risposta elettrica è dovuta principalmente alla polarizzazione dei legami e non al moto di portatori liberi;
- Semiconduttori: a basse temperature si comportano come isolanti; a temperatura ambiente presentano conduzione dominata da portatori di un solo segno (elettroni o lacune), la cui densità è fortemente influenzabile da temperatura e drogaggio.
Consideriamo un conduttore isolato al quale venga assegnata una carica totale \(Q\). In regime stazionario, la repulsione tra cariche dello stesso segno induce la ridistribuzione della carica sulla superficie esterna, in modo che il potenziale elettrico risulti costante su tutta la superficie. Se fossero presenti differenze di potenziale sulla superficie, le cariche continuerebbero a muoversi finché tali differenze non si annullano. Ne consegue che, all’equilibrio elettrostatico, il campo elettrico all’interno del conduttore è nullo e la carica risiede esclusivamente sulla superficie (Figura 06.05-01). Per la (E = - \frac{\Delta V}{\Delta r}), il potenziale all’interno ha pertanto valore uniforme ed è identico a quello della superficie.
Il campo elettrico alla superficie di un conduttore in equilibrio è perpendicolare alla superficie stessa e il suo modulo è legato alla densità di carica superficiale locale \(\sigma\) secondo:
\(E = \dfrac{\sigma}{\varepsilon_0 \varepsilon_r}\)
dove \(\varepsilon_0\) è la permittività del vuoto ed \(\varepsilon_r\) la permittività relativa del mezzo circostante. Per superfici piane e distribuzioni uniformi, si può assumere \(\sigma \approx Q/S\), con \(S\) area della superficie.
Il potenziale \(V\) del conduttore carico rappresenta il lavoro per unità di carica necessario ad aggiungere, contro il campo elettrico, una carica di prova dello stesso segno a quella già presente. Variando \(Q\), sperimentalmente si osserva un legame lineare tra \(Q\) e \(V\); il coefficiente di proporzionalità prende il nome di capacità elettrica del conduttore:
\(C = \dfrac{Q}{V}\)
Nel Sistema Internazionale l’unità di misura è il farad (F): un conduttore ha capacità pari a 1 F se 1 C di carica innalza il suo potenziale di 1 V. Dimensionalmente, \(C\) ha dimensioni fisiche \([M^{-1} L^{-2} T^{4} I^{2}]\). Poiché il farad è molto grande, sono di uso comune i sottomultipli microfarad (\(\mu\)F = \(10^{-6}\) F) e picofarad (pF = \(10^{-12}\) F).
Si definisce condensatore un sistema composto da due armature conduttrici contrapposte e separate da un dielettrico di spessore \(d\) (Figura 06.05-02). Se sulle armature compaiono cariche uguali e opposte, \(+Q\) e \(-Q\), tra esse si stabilisce una differenza di potenziale \(\Delta V\). In prima approssimazione, per armature piane e parallele e distanza uniforme, il campo elettrico tra le piastre è pressoché uniforme, con modulo, per la (E = - \frac{\Delta V}{\Delta r}), \(E = \Delta V/d\) (Figura 06.05-03). La capacità del condensatore è definita dal rapporto:
\(C = \dfrac{Q}{\Delta V}\)
Per un condensatore a facce piane e parallele (Figura 06.05-02)) il valore della capacità dipende dall’area \(S\) delle armature, dalla distanza \(d\) e dalla permittività del dielettrico interposto secondo:
\(C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \dfrac{S}{d}\)
Nel caso di un condensatore cilindrico coassiale (Figura 06.05-02), indicando con \(r_2\) il raggio dell’armatura esterna, con \(\delta\) lo spessore del dielettrico e con \(\ell\) la lunghezza delle armature, per \(\delta \ll r_2\) si ottiene l’approssimazione:
\(C = \varepsilon_0 \varepsilon_r \, 2 \pi \dfrac{r_2}{\delta} \, \ell.\)
Più in generale, per un condensatore coassiale vale \(C = 2 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r \, \ell / \ln(r_2/r_1)\); l’espressione di (C = \varepsilon_0 \varepsilon_r 2 \pi \frac{r_2}{\delta} \ell.) segue dall’espansione logaritmica quando \(\delta = r_2 - r_1 \ll r_2\).
Le membrane cellulari, costituite da un doppio strato lipidico con elevata resistenza alla conduzione ionica, si comportano elettricamente come dielettrici interposti tra i mezzi conduttivi intra- ed extracellulari; è quindi rilevante stimarne la capacità, specialmente per geometrie equivalenti a superfici piane o cilindri lunghi.
È spesso utile introdurre anche l’energia immagazzinata in un condensatore, pari a \(U = \tfrac{1}{2} C \, (\Delta V)^2 = \tfrac{Q^2}{2C} = \tfrac{1}{2} Q \, \Delta V\), grandezza rilevante sia per applicazioni elettroniche sia per modelli biofisici di membrana. In presenza di dielettrici reali, la capacità cresce con \(\varepsilon_r\) ma esiste un campo massimo sostenibile prima della rottura dielettrica; oltre tale valore, il materiale perde le proprietà isolanti.
Due condensatori sono in serie quando sono connessi come in (Figura 06.05-04); sono in parallelo quando la connessione è quella della (Figura 06.05-05). Applicando una differenza di potenziale ai morsetti \(A\) e \(B\), le capacità equivalenti soddisfano:
\(\text{condensatori in serie:} \quad \dfrac{1}{C} = \dfrac{1}{C_1} + \dfrac{1}{C_2},\)
\(\text{condensatori in parallelo:} \quad C = C_1 + C_2.\)
Le stesse relazioni si estendono a un numero arbitrario di elementi. In pratica, l’associazione in serie consente di aumentare la tensione nominale a scapito della capacità equivalente, mentre l’associazione in parallelo incrementa la capacità complessiva mantenendo la stessa tensione nominale dei singoli componenti.
Esempio numerico: un condensatore piano con \(S = 12,0 \,\text{cm}^2\), \(d = 0,80 \,\text{mm}\) e dielettrico con \(\varepsilon_r = 2,6\) ha capacità \(C = \varepsilon_0 \varepsilon_r S/d \approx 3,45 \,\text{pF}\). Se lo si collega a \(\Delta V = 50,0 \,\text{V}\), l’energia immagazzinata è \(U = \tfrac{1}{2} C (\Delta V)^2 \approx 4,31 \times 10^{-8} \,\text{J}\).
Image Gallery
Image Gallery
Image Gallery
Image Gallery
Image Gallery
Image Gallery
Image Gallery
