Campo magnetico
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Definizione
Fenomeni magnetici erano noti già in epoca antica: la calamita esercita azioni attrattive o repulsive su altre calamite, proprietà osservata in minerali ferrosi come la magnetite. Il termine “magnete” rimanda al greco magnétes lithos, “pietra di Magnesia”, località celebre per i suoi giacimenti. In Cina, almeno dal II secolo d.C., si riconobbe che una barretta magnetizzata, sospesa e libera di ruotare, tendeva a orientarsi secondo una direzione preferenziale; da tale comportamento nacque la bussola, strumento che si allinea, in prima approssimazione, con l’asse nord-sud terrestre.
Le applicazioni nautiche della bussola compaiono nelle fonti dall’XI secolo, mentre la conoscenza di tale strumento dall’estremo oriente si diffuse in Europa nel XII secolo. La teorizzazione scientifica del magnetismo ebbe un momento decisivo con William Gilbert (1544–1603), che nel 1600, nel trattato Physiologia nova de Magnete, interpretò la Terra come un grande magnete i cui poli magnetici risultano prossimi ai poli geografici. Per visualizzare l’idea, Gilbert propose un modello sferico magnetizzato, la cosiddetta “terrella”. L’assetto attuale del campo geomagnetico comporta che vicino al polo geografico nord si trovi il polo sud magnetico, ragione per cui un ago di bussola indica il nord geografico.
Un ago magnetico consente di individuare localmente la direzione delle linee del campo magnetico, orientandosi tangenzialmente ad esse. Gli angoli che l’ago forma con il piano orizzontale e con il piano verticale si chiamano, rispettivamente, declinazione e inclinazione magnetica. Per convenzione il verso delle linee del campo è assunto dal polo nord magnetico verso il polo sud magnetico. Lo studio sistematico del magnetismo subì un’accelerazione nell’Ottocento, quando si scoprì che correnti elettriche in conduttori generano campi magnetici e forze su altre correnti, tema cui si dedica il seguito.
Interazioni tra correnti e definizione operativa di B
Due circuiti attraversati da corrente esercitano forze reciproche. Poiché tali circuiti sono complessivamente neutri dal punto di vista elettrico, le forze in questione non sono elettrostatiche. L’osservazione generale è che cariche in moto interagiscono tramite forze magnetiche. Consideriamo, a tal fine, due conduttori rettilinei, indefiniti e paralleli, distanti \(d\), percorsi da correnti stazionarie di intensità \(i_1\) e \(i_2\). Si osserva sperimentalmente che la forza \(\mathbf{F}\) esercitata dal filo 1 sul filo 2 giace nel piano dei due fili: è attrattiva se le correnti hanno lo stesso verso, repulsiva se hanno verso opposto, e per un tratto di lunghezza \(\Delta \ell\) del filo 2 la sua intensità cresce con \(i_1\), \(i_2\) e \(\Delta \ell\), mentre decresce con \(d\) (Figura 07.02-01):
\[ F \;=\; \frac{\mu}{2\pi}\,\frac{i_1\,i_2\,\Delta \ell}{d}\,. \]
Nel Sistema Internazionale, la costante di proporzionalità è \(\mu/(2\pi)\), dove \(\mu\) è la permeabilità magnetica del mezzo. Storicamente, la relazione F = \frac{\mu}{2\pi} \frac{i_1 i_2 \Delta \ell}{d}. è stata utilizzata per definire operativamente l’ampere: si assumeva come 1 A la corrente costante che, mantenuta in due conduttori rettilinei paralleli, indefiniti, di sezione trascurabile, distanti 1 m nel vuoto, produce una forza di \(2\cdot 10^{-7}\) N su ogni metro di lunghezza (Figura 07.02-01). Con tale convenzione, nel vuoto la permeabilità magnetica valeva esattamente \(\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\ \mathrm{N\,A^{-2}}\) (equivalentemente \(\mathrm{H\,m^{-1}}\)). Dal 2019, il SI definisce l’ampere fissando il valore dell’elementare di carica \(e\); di conseguenza \(\mu_0\) non è più esatto per definizione ma è una costante misurata molto prossima a \(4\pi\cdot 10^{-7}\ \mathrm{N\,A^{-2}}\) secondo le raccomandazioni metrologiche correnti.
Per interpretare le azioni di forza, è utile introdurre il concetto di campo magnetico: il filo 1 genera nello spazio un campo vettoriale \(\mathbf{B}\) che esercita forze su conduttori percorsi da corrente (o su cariche in moto). In tal caso la F = \frac{\mu}{2\pi} \frac{i_1 i_2 \Delta \ell}{d}. si può riscrivere come:
\[ F \;=\; B\, i_2\, \Delta \ell\,, \]
dove \(B=\|\mathbf{B}\|\) è il modulo del campo magnetico prodotto dal filo 1 nel punto occupato dal filo 2.
Forza su conduttori: forma vettoriale (Laplace) e linee di campo
Se il filo 2 viene ruotato nello spazio, l’intensità e la direzione della forza variano. Le misure conducono alla forma vettoriale (legge di Laplace):
\[ \mathbf{F} \;=\; \Delta \boldsymbol{\ell}\, i_2 \,\wedge\, \mathbf{B}\,, \]
dove \(i_2\) è un vettore diretto come il filo 2 e di modulo \(i_2\), mentre \(\wedge\) indica il prodotto vettoriale. Per definizione, \(\mathbf{F}\) risulta perpendicolare al piano individuato da \(i_2\) e \(\mathbf{B}\), con modulo \(F = B\, i_2\, \Delta \ell\,\sin\theta\), \(\theta\) essendo l’angolo minore di 180° tra \(i_2\) e \(\mathbf{B}\). Nel caso dei due fili paralleli, \(\theta=90^\circ\) e le linee di forza di \(\mathbf{B}\) generato dal filo rettilineo sono circonferenze concentriche che avvolgono il conduttore (Figura 07.02-02), secondo la ben nota regola della mano destra. Un fatto cruciale è che le linee di \(\mathbf{B}\) sono sempre chiuse; in linguaggio matematico, il campo è solenoidale e soddisfa \(\nabla\cdot \mathbf{B}=0\).
Intensità del campo di un filo rettilineo: risultato di Biot–Savart
Dalla F = B i_2 \Delta \ell e dalla F = \frac{\mu}{2\pi} \frac{i_1 i_2 \Delta \ell}{d}. si ottiene il modulo del campo magnetico generato da un filo indefinito percorso da corrente:
\[ B \;=\; \frac{\mu}{2\pi}\,\frac{i_1}{d}\,, \]
che è il caso particolare, per conduttori rettilinei e indefiniti, della legge di Biot–Savart. La direzione e il verso di \(\mathbf{B}\) si ricavano sperimentalmente dal verso della forza su un filo esplorante (legge di Laplace) e coincidono con il verso dato dal pollice nella regola della mano destra, quando le dita seguono il senso della corrente.
Unità di misura e ordini di grandezza
Dalla \mathbf{F} = \Delta \boldsymbol{\ell} i_2 \wedge \mathbf{B} si deduce l’unità di misura di \(\mathbf{B}\) nel SI, il tesla (T):
\[\frac{\text{newton}}{\text{ampere m}} = \frac{\text{newton s}}{\text{coulomb m}} = \frac{\text{volt s}}{\text{m}^2} = \frac{\text{weber}^{(1)}}{\text{m}^2} = \text{tesla}(\text{T}).\]
Nell’uso storico convivono anche unità del sistema CGS, come il gauss (G), con la relazione \(1\ \mathrm{T} = 10^4\ \mathrm{G}\). Esempi indicativi: il campo geomagnetico superficiale varia tipicamente tra 0,25 e 0,65 G (25–65 µT); segnali magnetici biologici sono molto più deboli, con valori che possono scendere fino a \(10^{-9}\)–\(10^{-13}\ \mathrm{T}\) (da nanogauss a picogauss), a seconda del fenomeno misurato.
Permeabilità magnetica dei mezzi
La permeabilità magnetica \(\mu\) caratterizza la risposta di un mezzo ai campi magnetici e si scompone in:
\[ \mu \;=\; \mu_0\,\mu_r\,, \]
dove \(\mu_0\) è la permeabilità del vuoto (in unità SI, \(\mathrm{N\,A^{-2}}\) o \(\mathrm{H\,m^{-1}}\)) e \(\mu_r\) è la permeabilità relativa, adimensionale. A differenza della costante dielettrica relativa \(\varepsilon_r>1\) per i materiali ordinari in elettrostatica, la \(\mu_r\) può assumere valori minori, uguali o maggiori di 1 in funzione della natura del materiale:
- diamagnatici, \(\mu_r<1\): tendono a indebolire debolmente il campo applicato (ad esempio rame, bismuto);
- paramagnetici, \(\mu_r>1\) ma prossima a 1: mostrano un lieve rafforzamento del campo (ad esempio alluminio, ossigeno molecolare);
- ferromagnetici, \(\mu_r \gg 1\): presentano una risposta intensa e non lineare, con fenomeni di isteresi e saturazione (ad esempio ferro, nichel, cobalto).
Per completezza, la forza magnetica su una singola carica \(q\) in moto con velocità \(\mathbf{v}\) in un campo \(\mathbf{B}\) è data dalla forma di Lorentz \(\mathbf{F}=q\,\mathbf{v}\wedge\mathbf{B}\), coerente con la legge di Laplace per conduttori percorsi da corrente.
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