Un oscillatore armonico reale è soggetto a perdite di energia dovute a meccanismi dissipativi, come attriti viscosi, resistenza del mezzo o dissipazione interna del materiale. Di conseguenza l’energia meccanica totale decresce con il tempo e l’ampiezza delle oscillazioni sfuma progressivamente. In accordo con la (E = E_{k} + U = 0 + \frac{1}{2} \omega^{2} m A^{2} = \frac{1}{2} \omega^{2} m A^{2}), l’ampiezza A diminuisce nel tempo e il moto armonico prende il nome di moto smorzato. Un’andamento tipico è illustrato in (Figura 04.10-01). Dal punto di vista dinamico, un modello ampiamente utilizzato è \[ m\,\ddot{x} + b\,\dot{x} + k\,x = 0, \] dove il termine proporzionale a \(\dot{x}\) rappresenta lo smorzamento; per smorzamenti deboli l’ampiezza decresce approssimativamente in modo esponenziale, mentre la frequenza di oscillazione risulta leggermente inferiore a quella propria non smorzata.

Un apporto esterno e periodico di energia può compensare le perdite e mantenere il sistema in oscillazione. In tal caso si parla di oscillazioni forzate (Figura 04.10-02). Un’idealizzazione utile descrive il sistema con \[ m\,\ddot{x} + b\,\dot{x} + k\,x = F_0 \cos(2\pi \nu t), \] dove il termine a destra è la forza periodica di eccitazione, a frequenza \(\nu\) in generale distinta dalla frequenza naturale \(\nu_0\). Nel regime stazionario, l’ampiezza dell’oscillazione dipende da \(\nu\): quando \(\nu\) si avvicina a \(\nu_0\) l’ampiezza cresce sensibilmente, fenomeno noto come risonanza. In assenza di smorzamento l’ampiezza divergerebbe idealmente alla risonanza; nella pratica, la presenza di attrito la mantiene finita e determina anche uno sfasamento tra forza esterna e risposta dell’oscillatore:

• Meccanismi dissipativi tipici: attrito viscoso in fluidi, resistenza aerodinamica, isteresi e attriti interni nei materiali, perdite per irraggiamento acustico o elettromagnetico nei corpi vibranti;
• Esempi di forzamento: un generatore elettrodinamico che scuote una massa su molla, un circuito RLC alimentato sinusoidalmente, un pendolo mantenuto in moto da impulsi magnetici sincroni.

Il ruolo dell’eccitazione periodica è evidente in sistemi quotidiani: una lavatrice sbilanciata vibra vigorosamente a una ben precisa velocità di rotazione quando tale frequenza si avvicina alla \(\nu_0\) del telaio; un ponte pedonale può amplificare le oscillazioni se le andature dei passanti sincronizzano la forza di eccitazione con la frequenza naturale; un calice vicino a un altoparlante risuona per specifiche frequenze sonore. In tutti questi casi, la grandezza dell’effetto dipende dall’accoppiamento all’eccitazione e dall’intensità dello smorzamento: smorzamenti maggiori allargano il picco di risonanza e ne riducono l’ampiezza massima.

In sintesi, lo smorzamento causa la riduzione nel tempo dell’ampiezza, come indicato dalla (E = E_{k} + U = 0 + \frac{1}{2} \omega^{2} m A^{2} = \frac{1}{2} \omega^{2} m A^{2}) e mostrato in (Figura 04.10-01), mentre un apporto ritmico di energia può sostenere o amplificare le oscillazioni fino a un massimo in prossimità della risonanza, come in (Figura 04.10-02). La condizione \(\nu \approx \nu_0\) è quella di massima efficacia del forzamento, ma l’ampiezza rimane limitata dalla dissipazione intrinseca del sistema.

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Oscillazione smorzata

Oscillazione smorzata.

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Oscillazione forzata

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