Formule del prisma: superficie e volume
14 Agosto 2026 · Mario Lomele
Le formule del prisma sono le più semplici della geometria solida, perché non introducono nulla di nuovo: si ottengono tutte moltiplicando qualcosa che riguarda la base per l’altezza. Capito questo, non c’è più niente da memorizzare.
Le formule del prisma
La superficie laterale vale il prodotto fra il perimetro di base e l’altezza. Il motivo si vede srotolando il solido: le facce laterali formano un rettangolo la cui base è il contorno del poligono e la cui altezza è quella del prisma.
La superficie totale aggiunge le due basi, che sono uguali fra loro. Va quindi sommato il doppio dell’area di base, e non una sola volta: è la dimenticanza più frequente quando si lavora in fretta.
Il volume vale l’area di base per l’altezza. È la stessa regola del cilindro, che si può considerare un prisma con infiniti lati, e vale per qualunque solido a sezione costante.
Prisma retto, obliquo e regolare
Un prisma è retto quando gli spigoli laterali sono perpendicolari alle basi: solo in questo caso le facce laterali sono rettangoli e la formula della superficie laterale vale nella forma vista sopra.
In un prisma obliquo gli spigoli sono inclinati, le facce laterali diventano parallelogrammi e l’altezza del solido non coincide più con la lunghezza dello spigolo. La formula del volume continua invece a valere, purché si usi l’altezza vera e non lo spigolo: è il principio di Cavalieri.
Un prisma è regolare quando è retto e ha per base un poligono regolare. In questo caso tutte le facce laterali sono rettangoli uguali, e il calcolo dell’area di base si appoggia alla formula del semiprodotto fra perimetro e apotema.
Parallelepipedo e cubo
Il parallelepipedo rettangolo è il prisma più comune: ha per base un rettangolo e tutte le facce rettangolari. Il volume è il prodotto delle tre dimensioni, e la superficie totale è il doppio della somma dei tre prodotti fra coppie di dimensioni.
La sua diagonale si ottiene applicando due volte il teorema di Pitagora ed è la radice quadrata della somma dei quadrati delle tre dimensioni. È una delle formule che i quiz chiedono più spesso senza dichiararlo apertamente.
Il cubo è il caso in cui le tre dimensioni coincidono: volume uguale allo spigolo al cubo, superficie totale uguale a sei volte il quadrato dello spigolo, diagonale uguale allo spigolo per radice di tre.
Confronti e problemi tipici
Il confronto ricorrente è con la piramide di uguale base e altezza, il cui volume è un terzo di quello del prisma. Riconoscere il rapporto evita di eseguire due calcoli completi quando ne basta uno.
Un secondo tipo di quesito riguarda l’equivalenza fra solidi: due prismi con basi diverse ma aree di base uguali e stessa altezza hanno lo stesso volume, per quanto appaiano diversi. La forma della base non conta, conta solo la sua area.
Il terzo caso classico è il contenitore: un prisma aperto in alto ha una sola base, quindi la superficie da calcolare è la laterale più una sola area di base. Il testo lo specifica sempre, ma quasi di sfuggita.
Un esempio svolto
Prendiamo un prisma retto a base quadrata di lato 3 centimetri e altezza 10 centimetri. Il perimetro di base è 12 centimetri, quindi la superficie laterale vale 120 centimetri quadrati.
L’area di base è 9 centimetri quadrati, e le basi sono due: la superficie totale è quindi 120 più 18, cioè 138 centimetri quadrati. Il volume è 9 per 10, cioè 90 centimetri cubi.
Se l’altezza raddoppiasse, sia la superficie laterale sia il volume raddoppierebbero, mentre la superficie totale no: crescerebbe meno, perché le basi restano invariate. Questa asimmetria è la trappola più usata nei quesiti di confronto.
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