Piano inclinato: formule ed esercizi svolti
14 Agosto 2026 · Mario Lomele
Il piano inclinato è il problema di meccanica che compare più spesso nelle prove di ammissione, perché con una sola figura mette alla prova la scomposizione dei vettori, le leggi di Newton e l’attrito. Tutto ruota attorno a un passaggio solo: dividere la forza peso in due componenti.
Le formule del piano inclinato
La forza peso è sempre verticale e diretta verso il basso, ma su un piano inclinato conviene scomporla lungo due direzioni comode: parallela al piano e perpendicolare al piano. La componente parallela vale il prodotto fra massa, accelerazione di gravità e seno dell’angolo di inclinazione.
La componente perpendicolare vale invece massa per gravità per coseno dell’angolo, ed è quella che il piano equilibra con la reazione vincolare. Scambiare seno e coseno è l’errore singolo più frequente su questo argomento: conviene verificarlo con un caso limite, perché a inclinazione nulla la componente lungo il piano deve annullarsi, e il seno di zero vale zero.
In assenza di attrito l’accelerazione lungo il piano vale semplicemente gravità per seno dell’angolo. La massa si semplifica e sparisce: due corpi di peso diverso scendono con la stessa accelerazione, e questo risultato controintuitivo è chiesto con grande regolarità.
Il piano inclinato con attrito
La forza di attrito radente vale il prodotto fra il coefficiente di attrito e la reazione normale, che sul piano inclinato è la componente perpendicolare del peso. L’accelerazione diventa quindi gravità per la differenza fra seno dell’angolo e prodotto del coefficiente per il coseno.
Se questa differenza è positiva il corpo accelera verso il basso; se è negativa il corpo resta fermo, perché l’attrito statico è sufficiente a trattenerlo. Il caso di uguaglianza definisce l’angolo limite, quello in cui il corpo è sul punto di muoversi.
All’angolo limite la tangente dell’angolo è uguale al coefficiente di attrito statico. È una relazione elegante e molto usata: permette di misurare sperimentalmente un coefficiente di attrito semplicemente inclinando un piano finché l’oggetto non comincia a scivolare, senza bisogno di conoscerne la massa.
Energia e lavoro sul piano inclinato
In assenza di attrito l’energia si conserva: l’energia potenziale gravitazionale posseduta in cima si trasforma integralmente in energia cinetica alla base. La velocità finale dipende solo dal dislivello verticale e non dalla lunghezza del piano né dall’inclinazione.
Questo spiega il vantaggio meccanico del piano inclinato come macchina semplice: sollevare un corpo lungo una rampa richiede una forza minore che sollevarlo verticalmente, ma per un tratto più lungo. Il lavoro complessivo resta lo stesso, e ridurre la fatica non significa ridurre l’energia spesa.
Con l’attrito la conservazione non vale più: parte dell’energia si dissipa in calore, in quantità pari al prodotto fra forza di attrito e distanza percorsa. È il termine che va sottratto quando un quesito chiede la velocità all’arrivo su un piano scabro.
Un esempio svolto
Consideriamo un corpo su un piano inclinato di trenta gradi, senza attrito. Il seno di trenta gradi vale un mezzo, quindi l’accelerazione è metà di quella di gravità, cioè circa 4,9 metri al secondo quadrato, indipendentemente dalla massa del corpo.
Se lo stesso piano ha un coefficiente di attrito dinamico pari a 0,2, bisogna sottrarre il termine dovuto all’attrito. Il coseno di trenta gradi vale circa 0,87, quindi il prodotto con il coefficiente dà circa 0,17: l’accelerazione scende a gravità per 0,33, cioè poco più di 3 metri al secondo quadrato.
Se invece il coefficiente di attrito statico fosse 0,6, la tangente di trenta gradi vale circa 0,58, che è minore: il corpo resterebbe fermo. Verificare questa condizione prima di calcolare l’accelerazione evita di produrre un numero che descrive un moto inesistente.
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