Formule del cilindro: superficie e volume
14 Agosto 2026 · Mario Lomele
Le formule del cilindro si ricavano tutte da un’immagine sola: un rettangolo arrotolato fra due cerchi. Chi tiene a mente questa costruzione non ha bisogno di memorizzarle, perché le ricostruisce in pochi secondi anche sotto esame.
Le formule del cilindro, una per una
La superficie laterale è quella del rettangolo che si ottiene srotolando il cilindro: la sua base è la circonferenza del cerchio, quindi due pi greco per il raggio, e la sua altezza è l’altezza del solido. Il prodotto dà due pi greco per raggio per altezza.
La superficie totale aggiunge le due basi, ciascuna di area pi greco per il raggio al quadrato. Raccogliendo si ottiene la forma compatta due pi greco per raggio per la somma di raggio e altezza, che è più rapida da calcolare.
Il volume è l’area di base per l’altezza, cioè pi greco per il raggio al quadrato per l’altezza. Vale la regola generale dei solidi a sezione costante, la stessa che si applica al prisma: basta moltiplicare la sezione per la lunghezza.
Le formule inverse
Conoscendo volume e raggio, l’altezza si ottiene dividendo il volume per l’area di base. Conoscendo volume e altezza, il raggio si ricava dividendo il volume per pi greco e per l’altezza, ed estraendo la radice quadrata del risultato.
Dalla superficie laterale l’altezza si ottiene dividendo per la circonferenza di base. Dalla superficie totale il calcolo richiede invece la risoluzione di un’equazione di secondo grado nel raggio, ed è per questo che i quesiti di solito forniscono la laterale.
Un caso particolare comodo è il cilindro equilatero, quello in cui l’altezza è uguale al diametro. Qui tutte le formule si riducono a un solo parametro: la superficie totale diventa sei pi greco per il raggio al quadrato e il volume due pi greco per il raggio al cubo.
Confronti e problemi tipici
Il confronto più frequente è quello con il cono e con la sfera aventi lo stesso raggio e la stessa altezza. Il cono ha un terzo del volume del cilindro; la sfera inscritta ne ha due terzi. Da qui segue che cono e sfera insieme riempiono esattamente il cilindro.
Un altro problema ricorrente riguarda il raddoppio di una dimensione. Raddoppiando l’altezza il volume raddoppia; raddoppiando il raggio il volume quadruplica, perché il raggio compare al quadrato. Distinguere i due casi è quasi sempre la vera domanda.
Attenzione infine ai contenitori aperti: una lattina senza coperchio ha una sola base, quindi la sua superficie è la laterale più una sola area di cerchio. È un dettaglio del testo che decide la risposta, e viene inserito apposta.
Un esempio svolto
Prendiamo un cilindro di raggio 2 centimetri e altezza 10 centimetri. La superficie laterale vale due pi greco per due per dieci, cioè quaranta pi greco centimetri quadrati. Le due basi valgono ciascuna quattro pi greco, quindi la superficie totale è quarantotto pi greco.
Il volume vale pi greco per quattro per dieci, cioè quaranta pi greco centimetri cubi, circa 126 centimetri cubi. Vale la pena notare che il valore numerico della superficie laterale e quello del volume coincidono: succede ogni volta che il raggio vale 2, perché il fattore due si semplifica.
Provando a scambiare le dimensioni, cioè raggio 10 e altezza 2, il volume diventa duecento pi greco: cinque volte tanto, a parità di materiale usato per il bordo. È il motivo per cui i contenitori larghi e bassi rendono più di quelli stretti e alti, e i quesiti di ottimizzazione partono quasi sempre da qui.
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