Formule della sfera: superficie e volume
14 Agosto 2026 · Mario Lomele
Le formule della sfera sono due sole, ma vengono confuse con regolarità perché si somigliano: entrambe contengono pi greco e il raggio, una al quadrato e una al cubo. Un modo semplice per non sbagliarle è ricordare che un’area ha due dimensioni e un volume ne ha tre.
Le due formule della sfera
La superficie di una sfera vale quattro pi greco per il raggio al quadrato. È esattamente quattro volte l’area del cerchio massimo, cioè del cerchio che si ottiene tagliando la sfera con un piano passante per il centro: un rapporto che vale la pena memorizzare perché compare spesso nei quesiti di confronto.
Il volume vale quattro terzi di pi greco per il raggio al cubo. La presenza del fattore un terzo la accomuna alle formule di cono e piramide, e ricordare questa parentela aiuta a non scambiarla con quella della superficie.
Le formule inverse servono quando il dato noto non è il raggio. Dalla superficie il raggio si ottiene dividendo per quattro pi greco ed estraendo la radice quadrata; dal volume si moltiplica per tre, si divide per quattro pi greco e si estrae la radice cubica.
Il rapporto con il cilindro circoscritto
Una sfera inscritta in un cilindro ha lo stesso raggio del cilindro e un’altezza pari al diametro. In queste condizioni il volume della sfera è esattamente due terzi di quello del cilindro, e anche la superficie della sfera è due terzi della superficie totale del cilindro.
Questa relazione risale ad Archimede, che la considerava il proprio risultato più bello al punto da volerla incisa sulla tomba. Nei test compare travestita: un quesito che chiede quale frazione del contenitore occupa una palla che tocca esattamente le pareti sta chiedendo questo.
Un’altra proporzione utile riguarda il raddoppio del raggio: la superficie diventa quattro volte più grande, il volume otto volte. Chi risponde due, per entrambe, ha applicato una proporzionalità lineare che qui non vale.
Come si usano nei problemi
Il caso più frequente riguarda il confronto fra solidi di uguale volume o di uguale superficie. Conviene sempre ricondurre tutto al raggio prima di confrontare, invece di ragionare sui valori numerici, che con pi greco diventano scomodi.
Un secondo caso classico è la sfera ottenuta fondendo più sfere più piccole: si sommano i volumi, non i raggi. Fondere otto sfere identiche produce una sfera di raggio doppio, non ottuplo.
Va infine ricordato che la sezione di una sfera con un piano è sempre un cerchio, il cui raggio dipende dalla distanza del piano dal centro e si ricava con il teorema di Pitagora. Quando il piano passa per il centro il cerchio è massimo e ha il raggio della sfera.
Un esempio svolto
Supponiamo di avere una sfera di raggio 3 centimetri e di volerne conoscere superficie e volume. La superficie vale quattro pi greco per nove, cioè trentasei pi greco centimetri quadrati, che equivalgono a circa 113 centimetri quadrati.
Il volume vale quattro terzi di pi greco per ventisette. Il ventisette semplifica con il tre del denominatore e restano trentasei pi greco centimetri cubi, circa 113 centimetri cubi. La coincidenza numerica fra i due valori vale solo per il raggio 3 ed è una curiosità, non una regola.
Se invece il dato noto fosse il volume, per esempio 36 pi greco, si procederebbe al contrario: moltiplicando per tre e dividendo per quattro pi greco si ottiene ventisette, la cui radice cubica è tre. Verificare il risultato ricalcolando in avanti costa pochi secondi ed elimina gli errori di segno o di esponente.
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