Se una sorgente emette un’onda di frequenza \(\nu_{s}\), la frequenza misurata da un ricevitore dipende dal moto relativo lungo la direzione di propagazione. Questo fenomeno, noto come effetto Doppler, è fondamentale in fisica delle onde e trova applicazioni in ambito biomedico (ad esempio nell’ecografia Doppler), oltre che in acustica e in sismologia. Di seguito si discutono due configurazioni lineari e non relativistiche, assumendo velocità della sorgente o dell’osservatore inferiori alla velocità di propagazione dell’onda nel mezzo, \(u, u_{s} < v\), e moto collineare alla direzione dei fronti d’onda.

Primo caso: la sorgente S è ferma, l’osservatore O si muove verso S con velocità \(u\) (Figura 04.13-01). Se O fosse stazionario, in un secondo riceverebbe \(\nu_{s}\) oscillazioni, corrispondenti al tratto di lunghezza \(OR = v \cdot 1\,\text{s}\). Poiché O avanza verso S, in quello stesso secondo percorre \(OR_{1}\) con velocità \(u\), intercettando più fronti d’onda rispetto al caso statico: in pratica, O “raggiunge” i fronti a una velocità effettiva \(v + u\). La frequenza percepita risulta pertanto aumentata del fattore \((1 + u/v)\):

\[ V = V_s \left(1 + \frac{u}{v}\right). \]

La variazione di frequenza (scarto Doppler) è quindi proporzionale al rapporto tra la velocità dell’osservatore e quella dell’onda:

\[ \Delta V = V - V_s = V_s \frac{u}{V} \]

Secondo caso: l’osservatore O è fermo e la sorgente S si muove verso O con velocità \(u_{s}\) (Figura 04.13-02). In tal caso i fronti d’onda emessi si addensano nella direzione del moto della sorgente: la lunghezza d’onda che “raggiunge” l’osservatore si riduce a \(\lambda' = \dfrac{v - u_{s}}{\nu_{s}}\), da cui segue un incremento della frequenza misurata:

\[ V = V_s \frac{v}{v - u_s}. \]

e la corrispondente differenza di frequenza:

\[ \Delta V = V - V_s = V_s \left( \frac{u_s}{v - u_s} \right) \]

In entrambe le configurazioni appena descritte, un avvicinamento reciproco determina un aumento della frequenza percepita (\(\nu > \nu_{s}\)). Se invece l’osservatore si allontana da una sorgente ferma, oppure la sorgente si allontana da un osservatore fermo, i segni delle velocità nelle espressioni precedenti si invertono e la frequenza rilevata diminuisce. Per i due casi di allontanamento si ottiene infatti:

\[ \Delta V = V - V_s = V_s \left( \frac{-u}{v} \right) \]

e, per una sorgente che si allontana con velocità \(u_{s}\) da un osservatore fermo:

\[ \Delta V = V - V_s = V_s \left( \frac{-u_s}{v + u_s} \right) \]

Qui \(\nu_{s}\) è la frequenza emessa dalla sorgente, \(\nu\) quella misurata dall’osservatore e \(v\) la velocità di propagazione dell’onda nel mezzo. Le relazioni riportate sono valide in regime non relativistico e subsonico/sub-luminare, cioè per \(\dfrac{u}{v} < 1\) e \(\dfrac{u_{s}}{v} < 1\), e per moto lungo la linea che congiunge sorgente e osservatore; in presenza di un angolo \(\theta\) tra la velocità e la direzione di propagazione, va considerata la componente lungo tale direzione, introducendo un fattore \(\cos\theta\).

Per completezza, quando entrambi sono in moto lungo la stessa linea, la forma compatta non relativistica è: \[ \nu = \nu_{s}\,\frac{v + u_{o}}{v - u_{s}}, \] dove \(u_{o}\) è positiva se l’osservatore si muove verso la sorgente e \(u_{s}\) è positiva se la sorgente si muove verso l’osservatore. Il segno opposto rappresenta l’allontanamento:

• Avvicinamento reciproco: \(\nu > \nu_{s}\), accorciamento della lunghezza d’onda davanti alla sorgente o aumento del tasso di incontro con i fronti per l’osservatore in moto;
• Allontanamento reciproco: \(\nu < \nu_{s}\), allungamento della lunghezza d’onda o diminuzione del tasso di incontro con i fronti;
• La differenza \(\Delta \nu = \nu - \nu_{s}\) è proporzionale alla velocità relativa lungo la linea di vista e consente di stimare tale velocità tramite misure frequenziali.

Esempio numerico. In aria, con \(v \approx 340\,\text{m/s}\), una sorgente emette a \(\nu_{s} = 500\,\text{Hz}\). Un osservatore si muove verso la sorgente con \(u = 10\,\text{m/s}\): \[ \nu = 500\left(1 + \frac{10}{340}\right) \approx 514,7\,\text{Hz}, \quad \Delta \nu \approx 14,7\,\text{Hz}. \] Se invece la sorgente si muove verso un osservatore fermo con \(u_{s} = 20\,\text{m/s}\): \[ \nu = 500\,\frac{340}{340 - 20} = 500\,\frac{340}{320} \approx 531,25\,\text{Hz}, \quad \Delta \nu \approx 31,25\,\text{Hz}. \]

Questi risultati illustrano come, a parità di velocità relativa, lo spostamento della sorgente modifichi la lunghezza d’onda nel mezzo, mentre lo spostamento dell’osservatore alteri il numero di fronti d’onda intercettati nell’unità di tempo.

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Effetto Doppler con osservatore in moto

Superfici d’onda successive emesse da una sorgente ferma e ricevute da un osservatore (punto O) in moto verso di essa. Nel tempo Δt, oltre a ricevere le onde emesse dalla sorgente, l’osservatore riceve anche le onde contenute nel tratto RR₁ percorso nello stesso intervallo di tempo Δt.

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Effetto Doppler con sorgente in moto

Superfici d’onda successive emesse da una sorgente puntiforme che si muove con velocità us verso un osservatore fermo. Le posizioni successive numerate della sorgente sono il centro da cui le rispettive onde sono state emesse. La lunghezza d’onda è minore di λs per un osservatore fermo che vede la sorgente avvicinarsi, e maggiore per l’osservatore che la vede allontanarsi.

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