Nei paragrafi precedenti la propagazione dei fenomeni ondulatori è stata descritta assumendo onde sinusoidali di periodo fissato T, quindi caratterizzate da una lunghezza d’onda o da una frequenza determinata (segnali monocromatici). Nella realtà sperimentale, tuttavia, i segnali periodici che modellano sistemi fisici e biologici presentano forme d’onda molto più articolate. Un risultato fondamentale, dovuto a Fourier, afferma che ogni funzione periodica sufficientemente regolare di periodo T può essere espressa come combinazione lineare, finita o infinita, di seni e coseni le cui frequenze sono multipli interi della frequenza fondamentale. Passando dal caso discreto a quello continuo, il principio si estende, con opportune ipotesi, anche a funzioni non periodiche mediante trasformata di Fourier; in questa sede, però, restiamo nel quadro delle funzioni periodiche.

Indicando con \(f_0=1/T\) la frequenza fondamentale e con \(\omega_0=2\pi/T\) la corrispondente pulsazione, la serie di Fourier assume la forma esplicita:

\[ f(t) = \sum_{i=0}^{\infty} \left( C_{i} \cos i\omega t + S_{i} \sin i\omega t \right)  \]

dove i coefficienti \(a_n\) e \(b_n\) quantificano il “peso” con cui ciascuna armonica contribuisce alla ricostruzione del segnale. Le frequenze \(n f_0\) (con \(n=1,2,3,\dots\)) vengono dette armoniche, con \(n=1\) armonica fondamentale e \(n\ge 2\) armoniche superiori. Grazie all’ortogonalità delle funzioni trigonometriche su un periodo, i coefficienti si determinano in modo univoco da:

\[ a_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t)\cos(n\omega_{0}t)\,\mathrm{d}t,\qquad b_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t)\sin(n\omega_{0}t)\,\mathrm{d}t, \]

con \(a_0=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T} f(t)\,\mathrm{d}t\). In condizioni generali (ad esempio ipotesi di Dirichlet), la serie converge a \(f(t)\) nei punti di continuità e al valore medio delle discontinuità nei punti di salto.

Dal punto di vista informativo, l’analisi di Fourier restituisce lo spettro di ampiezza, ossia l’insieme dei moduli delle componenti sinusoidali in funzione della frequenza, come illustrato in (Figura 04.11-01). Spesso è utile considerare lo spettro di potenza, costituito dai quadrati delle ampiezze. Nei fenomeni ondulatori, infatti, è il quadrato dell’ampiezza ad avere significato energetico, risultando proporzionale all’energia trasportata dall’onda armonica secondo la relazione (E = E_{k} + U = \frac{1}{2} m v^{2}(t) + \frac{1}{2} \omega^{2} m S^{2}(t)). La distribuzione spettrale della potenza consente di individuare le frequenze alle quali il segnale concentra l’energia e, tramite il teorema di Parseval, mette in corrispondenza l’energia totale nel tempo con la somma delle energie delle singole armoniche.

Questa prospettiva è cruciale in ambito biomedico. Alcuni esempi applicativi includono:

• elettrofisiologia, dove la scomposizione in bande di frequenza permette di quantificare componenti ritmiche di segnali neurali o cardiaci, con possibili indici utili per riconoscere stati patologici latenti;
• audiologia, in cui lo spettro aiuta a caratterizzare la risposta in frequenza del sistema uditivo e a distinguere deficit selettivi per specifiche bande;
• emodinamica e variabilità cardiaca, per analizzare oscillazioni periodiche legate alla regolazione autonomica su scale di frequenza distinte.

Oltre al dominio biomedico, l’analisi armonica è centrale nello studio del rumore ambientale e delle vibrazioni meccaniche: le frequenze che massimizzano la potenza spettrale segnalano le sorgenti vibranti predominanti; intervenire su tali componenti significa agire in modo mirato sulla causa del rumore.

Per fissare le idee, si consideri un segnale periodico con lieve asimmetria temporale, ad esempio un’onda quasi triangolare perturbata. La sua serie di Fourier presenta armoniche a multipli della frequenza fondamentale, con ampiezze che, tipicamente, decrescono all’incirca come \(1/n^{2}\) per le componenti principali, mentre la piccola asimmetria introduce una sottile componente sinusoidale aggiuntiva che si manifesta come rigonfiamento di alcune armoniche specifiche. Nello spettro di potenza, queste differenze emergono chiaramente, permettendo di discriminare la presenza di deformazioni rispetto al profilo ideale.

In sintesi:

• la periodicità impone una griglia di frequenze discrete \(n f_0\), corrispondenti alle armoniche;
• i coefficienti di Fourier, ricavati per integrazione su un periodo, misurano l’ampiezza delle componenti sinusoidali;
• lo spettro di ampiezza offre una rappresentazione compatta della composizione in frequenza, mentre lo spettro di potenza, coerente con (E = E_{k} + U = \frac{1}{2} m v^{2}(t) + \frac{1}{2} \omega^{2} m S^{2}(t)), evidenzia la distribuzione energetica;
• l’analisi spettrale funge da strumento diagnostico e interpretativo in sistemi fisici e biologici, nonché in acustica e vibrazioni.

Per completezza, si ricorda che una formulazione equivalente utilizza la base esponenziale complessa, \(f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_{n}e^{\mathrm{i}n\omega_{0}t}\), con \(c_n\) coefficienti complessi, spesso conveniente nel trattamento teorico e computazionale; nella pratica sperimentale, la stima dei coefficienti avviene su intervalli finiti e discretizzati, e il contenuto in frequenza viene quindi calcolato come approssimazione delle grandezze continue sopra descritte.

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Spettro di Fourier

(a) Spettro di Fourier di un’onda periodica complessa (le ampiezze A possono essere positive o negative). (b) Anche segnali non periodici possono essere analizzati in uno spettro di Fourier, che risulta allora continuo per l’addensamento delle frequenze e non discreto come in (a); osserva che in (b) sono mostrate le ampiezze al quadrato, proporzionali all’energia trasportata a ciascuna frequenza dal fenomeno (spettro di potenza).

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