Meccanismi di trasmissione del calore
Definizione
Nel quadro della Termodinamica, la differenza di temperatura tra due sistemi a contatto termico genera spontaneamente un flusso di energia che tende a condurli all’equilibrio termico, ossia alla stessa temperatura. Tale scambio energetico, indicato come calore, può avvenire attraverso tre meccanismi fisici distinti, spesso compresenti:
- convezione, trasferimento di energia associato al moto macroscopico di un fluido;
- conduzione, passaggio di energia per interazione microscopica senza trasporto netto di materia;
- irraggiamento, scambio mediante onde elettromagnetiche, efficace anche nel vuoto.
Per convezione si intende il trasporto di calore accompagnato dallo spostamento di massa fluida. Il fenomeno si manifesta nei gas e nei liquidi quando si instaurano gradienti di densità legati a disomogeneità termiche, tipicamente in presenza del campo gravitazionale che innesca forze di galleggiamento. Si distinguono due regimi principali:
- convezione naturale (o libera), in cui il moto del fluido nasce spontaneamente per differenze di densità; un esempio classico è l’acqua in una pentola riscaldata dal fondo: lo strato inferiore, più caldo e meno denso, ascende, mentre quello superiore, più freddo, discende formando celle convettive;
- convezione forzata, in cui una pompa o una ventola impongono la circolazione del fluido attraverso regioni a temperature diverse, come avviene negli scambiatori termici o nei sistemi di climatizzazione degli edifici.
In prima approssimazione stazionaria, il flusso di calore convettivo che attraversa una superficie di area S può essere descritto dalla legge di raffreddamento di Newton:
\[ \frac{Q}{t} = K_{\mathrm{conv}} S \Delta T \]
dove \(\Delta T\) è la differenza di temperatura tra fluido e superficie (o tra due regioni del fluido) e \(K_{\mathrm{conv}}\) è il coefficiente convettivo, grandezza che dipende dalle proprietà del fluido (viscosità, conducibilità termica, calore specifico), dalla velocità di flusso, dalla geometria e dall’orientazione della superficie rispetto alla gravità. Le unità dimensionali tipiche sono W·m\(^{-2}\)·K\(^{-1}\). Valori di \(K_{\mathrm{conv}}\) variano di ordini di grandezza passando dalla convezione naturale in aria alla convezione forzata in liquidi ad alta velocità.
Nei sistemi biologici la convezione riveste un ruolo centrale nell’omeotermia: la perfusione sanguigna, per gli animali, e la circolazione linfatica o dei vasi xilematici e floematici, per i vegetali, agiscono come un circuito di distribuzione del calore, mantenendo relativamente uniforme la temperatura tra distretti corporei con metabolismo e scambio termico differenti.
La conduzione descrive il trasferimento di energia termica attraverso un mezzo, in assenza di trasporto macroscopico di materia. È il meccanismo prevalente nei solidi, ma si verifica anche in fluidi statici. Consideriamo una lastra piana di spessore \(d\) e area \(S\), con le due facce mantenute a temperature diverse \(T_a > T_b\). In condizioni stazionarie e in regime monodimensionale, il flusso di calore è dato dalla legge di Fourier:
\[ \frac{Q}{t} = K \frac{S (T_a - T_b)}{d} = K \frac{S \Delta T}{d} \]
dove \(Q\) è la quantità di calore trasferita nel tempo \(t\) e \(K\) è la conducibilità termica del materiale, con unità W·m\(^{-1}\)·K\(^{-1}\). La grandezza \(K\) è funzione della struttura e della composizione del materiale: nei metalli il contributo principale è mediato dagli elettroni liberi, mentre in isolanti e semiconduttori il trasporto avviene tramite vibrazioni reticolari (fononi). In termini microscopici, il passaggio di energia si realizza come scambio di energia cinetica tra costituenti adiacenti senza spostamenti permanenti delle particelle dalla loro posizione media, coerentemente con il moto di agitazione termica.
Valori rappresentativi di \(K\) per diversi materiali sono riportati in (Tabella 05.14-01). La cute umana mostra una bassa conducibilità, dell’ordine tipico dei materiali lignei, motivo per cui si comporta come discreto isolante. La presenza di acqua sulla pelle riduce sensibilmente la resistenza termica effettiva: l’acqua colma i microinterstizi d’aria e, oltre a modificare il percorso conduttivo, favorisce lo scambio per evaporazione, incrementando la perdita di calore. L’aria, a sua volta, è un eccellente isolante se mantenuta ferma; quando la convezione è soppressa, ad esempio intrappolando microvolumi d’aria, la resistenza termica cresce considerevolmente. Questo principio spiega l’efficacia di materiali isolanti con porosità elevata, come lana, pellicce e lana di vetro, in cui l’aria immobilizzata limita sia la conduzione sia i moti convettivi interni.
| Materiale / Tessuto | K (kcal·m⁻¹s⁻¹ °C⁻¹) | K (J m⁻¹ s⁻¹ °C⁻¹) | Nota |
|---|---|---|---|
| Rame | 9.2 × 10⁻² | 3.85 × 10² | Elevata conducibilità; usato come confronto nei modelli di trasferimento termico. |
| Ferro e acciaio | 1.1 × 10⁻³ | 4.60 | Conduttori intermedi; impiegati in strumenti chirurgici. |
| Ghiaccio | 5.2 × 10⁻⁴ | 2.17 | Proprietà sfruttata in crioterapia. |
| Vetro | 2.0 × 10⁻⁴ | 8.40 × 10⁻¹ | Conduttore modesto; materiale di riferimento in laboratorio. |
| Acqua | 1.4 × 10⁻³ | 5.85 × 10⁻¹ | Base fisiologica del trasporto di calore nell’organismo. |
| Pelle secca | 6.0 × 10⁻⁴ | 2.51 × 10⁻¹ | Moderata conduzione; protegge dagli sbalzi termici. |
| Neve | 1.0 × 10⁻⁴ | 4.20 × 10⁻² | Elevato isolamento; applicazioni in medicina dello sport. |
| Legno | 3.0 × 10⁻⁴ | 1.25 × 10⁻¹ | Materiale isolante; usato come confronto in studi termici. |
| Sughero | 1.0 × 10⁻⁴ | 4.20 × 10⁻² | Forte isolamento; analogo del tessuto adiposo. |
| Polistirolo | 9.5 × 10⁻⁶ | 4.00 × 10⁻³ | Isolante artificiale; confrontabile con il grasso corporeo. |
| Lana di vetro | 9.3 × 10⁻⁶ | 3.89 × 10⁻³ | Isolante; modello per il tessuto adiposo. |
| Aria | 5.5 × 10⁻⁶ | 2.30 × 10⁻² | Scarsa conducibilità, importante per l’isolamento respiratorio. |
| Sangue intero | ~6.5 × 10⁻⁴ | ~2.7 × 10⁻¹ | Buona capacità di condurre calore, favorisce la termoregolazione. |
| Tessuto muscolare | ~5.0 × 10⁻⁴ | ~2.1 × 10⁻¹ | Moderata conducibilità, dipende dal flusso sanguigno. |
| Tessuto adiposo | ~2.0 × 10⁻⁴ | ~8.4 × 10⁻² | Isolante naturale, protegge dal raffreddamento. |
Conducibilità termica delle sostanze
Valori della conducibilità termica di diversi materiali a temperatura ambiente.
Per descrivere il trasferimento di calore per irraggiamento, richiamiamo brevemente alcuni principi dell’elettromagnetismo che saranno approfonditi nel Capitolo 21. Qualunque sistema materiale, solido o liquido, posto a temperatura assoluta T, emette onde elettromagnetiche con spettro continuo: questa emissione prende il nome di radiazione termica. La luce visibile è solo una porzione dello spettro elettromagnetico; procedendo verso lunghezze d’onda maggiori si incontrano microonde e onde radio, mentre verso lunghezze d’onda minori si trovano infrarosso, ultravioletto e raggi X. L’energia irradiata aumenta al crescere della temperatura, a spese dell’energia interna del corpo. In senso inverso, un’onda elettromagnetica incidente può essere assorbita in toto o in parte, trasformando la sua energia in energia interna del materiale. Ne consegue che l’irraggiamento consente il trasferimento di calore anche nel vuoto, senza supporto materiale.
Su scala microscopica, la materia è composta da particelle cariche (elettroni e protoni) e neutre (neutroni). L’agitazione termica induce moti di traslazione e vibrazione; cariche accelerate emettono onde elettromagnetiche (emissione), mentre i campi elettrico e magnetico di un’onda incidente esercitano forze sulle cariche, incrementandone l’energia cinetica media (assorbimento). Per descrivere in modo ideale la radiazione termica si introduce il concetto di corpo nero, ossia un assorbitore perfetto: un sistema che assorbe integralmente la radiazione incidente a qualunque lunghezza d’onda. Per conservazione dell’energia (legge di Kirchhoff sull’irraggiamento), un assorbitore perfetto è anche un emettitore perfetto. Lo spettro di un corpo nero dipende esclusivamente dalla temperatura assoluta T e non dalla composizione o dalla forma dell’oggetto. Un esempio pratico è l’apertura di un forno: la radiazione che penetra da un piccolo portello subisce molteplici riflessioni ed è efficacemente assorbita dalle pareti, realizzando una buona approssimazione di corpo nero.
Definiamo intensità I della radiazione (irradianza/emittanza per unità di superficie) la potenza emessa o assorbita per unità di area. Le unità di misura più comuni sono il watt m⁻² nel Sistema Internazionale e la caloria s⁻¹ cm⁻² nel sistema pratico. Le leggi fondamentali dell’irraggiamento termico possono essere enunciate come segue.
a) legge di Stefan. L’intensità emessa da un’area unitaria della superficie, nell’unità di tempo, è proporzionale alla quarta potenza della temperatura assoluta:
\[ I = k \sigma T^4 \]
\[ (\sigma = 1.36 \cdot 10^{-12} \text{ cal cm}^{-2} \text{ s}^{-1} \text{ K}^{-4} = 5.67 \cdot 10^{-8} \text{ W m}^{-2} \text{ K}^{-4}) \]
dove k è un coefficiente adimensionale (0 < k ≤ 1) che dipende dalle proprietà superficiali del corpo ed è spesso indicato come emissività;
b) legge di Wien. La distribuzione spettrale presenta un massimo a una lunghezza d’onda λ per la quale l’emissione è massima, e tale lunghezza d’onda è inversamente proporzionale alla temperatura assoluta:
\[ \lambda_{I\mathrm{max}} = \frac{b}{T} = \frac{0.2897}{T} \quad (\lambda \text{ espressa in cm}) \]
Nella (Figura 05.14-01) sono riportati esempi di distribuzioni spettrali della radiazione emessa a differenti temperature assolute. Lo spettro è continuo e l’intensità dipende dalla lunghezza d’onda, con un massimo fissato dalla (\lambda_{\mathrm{max}} = \frac{b}{T} = \frac{0.2897}{T} \quad (\lambda \text{ espressa in cm})). All’aumentare della temperatura, il picco si sposta verso lunghezze d’onda minori, in accordo con la legge di Wien; l’area sottesa dalla curva spettrale, che rappresenta l’intensità totale I, cresce come T⁴ secondo la legge di Stefan. Un’osservazione macroscopica coerente con queste leggi è il cambiamento di colore dei metalli incandescenti: al crescere di T la tonalità evolve dal rosso verso l’arancio fino al bianco, segnalando il progressivo spostamento del massimo di emissione nel visibile. Due stime utili: per T ≈ 5 800 K (fotosfera solare) si ha \(\lambda_{\max} \approx 0{,}5\,\mu\text{m}\) nel visibile; per T ≈ 300 K (ambiente terrestre) \(\lambda_{\max} \approx 9{,}7\,\mu\text{m}\) nell’infrarosso termico.
Consideriamo ora lo scambio radiativo fra un corpo e l’ambiente circostante. Indichiamo con Iᴱ la potenza emessa per unità di area e con Iᴬ la potenza assorbita. All’equilibrio termico vale Iᴱ = Iᴬ. Lontano dall’equilibrio, il bilancio dipende dal confronto tra la temperatura del corpo e quella dell’ambiente. Supponiamo che il corpo sia a Tₐ e che gli oggetti circostanti si trovino tutti a temperatura Tb (Figura 05.14-02).
Applicando la formula con k = 1 (corpo nero), la potenza emessa per unità di area è Iᴱ = σ Tₐ⁴. Poiché l’assorbimento dipende dalla radiazione proveniente dall’ambiente, la corrispondente potenza assorbita non dipende in prima approssimazione da Tₐ, ma da Tb. Il flusso netto scambiato per unità di area risulta allora:
\[ I = I_{\mathrm{E}} - I_{\mathrm{A}} = \sigma (T_a^4 - T_b^4) \]
Usando le identità algebriche (a⁴ − b⁴) = (a² + b²)(a² − b²) e (a² − b²) = (a + b)(a − b), si ottiene una forma utile per la linearizzazione:
\[ \begin{split} I &= \sigma \cdot (T_a^2 + T_b^2) \cdot (T_a^2 - T_b^2) = \sigma \cdot (T_a^2 + T_b^2) \cdot (T_a + T_b) \cdot (T_a - T_b) = \\ &= \sigma \cdot (T_a^2 + T_b^2) \cdot (T_a + T_b) \cdot \Delta T \approx K_{\mathrm{irr}} \cdot \Delta T \end{split} \]
assumendo \(K_{\mathrm{irr}}\) pressoché costante nell’intervallo di interesse. L’approssimazione è adeguata per il corpo umano con Tₐ ≈ 273 + 37 = 310 K e Tb compresa tra 273 K e 323 K: in tale intervallo \(K_{\mathrm{irr}}\) varia di circa il 20 %. Con questa linearizzazione, tutti e tre i meccanismi di scambio di calore (conduzione, convezione e irraggiamento) risultano proporzionali a \(\Delta T\).
Dal punto di vista applicativo, l’irraggiamento è alla base di metodiche diagnostiche come la termografia: tessuti con metabolismo elevato presentano temperature leggermente superiori, generando incrementi marcati di intensità emessa in virtù della dipendenza \(I \propto T^4\) della (I = k \sigma T^4
\quad
(\sigma = 1.36 \cdot 10^{-12} \text{ cal cm}^{-2} \text{ s}^{-1} \text{ K}^{-4} = 5.67 \cdot 10^{-8} \text{ W m}^{-2} \text{ K}^{-4})). Analogamente, i termometri a infrarosso stimano la temperatura assoluta T dalla potenza radiativa misurata, secondo:
\[ T = \sqrt[4]{I/\sigma} \]
Nell’uso pratico, si introduce l’emissività reale della superficie osservata (k nella (I = k \sigma T^4
\quad
(\sigma = 1.36 \cdot 10^{-12} \text{ cal cm}^{-2} \text{ s}^{-1} \text{ K}^{-4} = 5.67 \cdot 10^{-8} \text{ W m}^{-2} \text{ K}^{-4}))) e si considerano le bande spettrali più trasmissive dell’atmosfera (ad esempio 8–14 µm), per minimizzare effetti di assorbimento lungo il cammino ottico e ottenere stime accurate della temperatura.
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