La legge di Hooke esprime la proporzionalità, in un appropriato intervallo di deformazioni, tra sforzo e deformazione per un corpo elastico. Ogni volta che un sistema elastico viene sollecitato, esso oppone una reazione orientata in modo da contrastare la variazione imposta. Nel caso specifico di una membrana sottile, le forze elastiche emergono come azioni tangenziali alla superficie, applicate perpendicolarmente al bordo di qualunque taglio immaginario tracciato sulla membrana. Se la membrana è in trazione e viene praticato un taglio, le azioni distribuite lungo i lembi tendono ad allargare l’apertura: ciò evidenzia la presenza di una forza per unità di lunghezza, tradizionalmente indicata come tensione elastica.

Si definisce, quindi, la tensione elastica di membrana τ come la forza tangenziale per unità di lunghezza agente sul contorno. Tale grandezza ricorda, ma non coincide concettualmente, con la tensione superficiale dei liquidi richiamata in \[\tau = \frac{F}{\ell}\]. La differenza sostanziale emerge nella formulazione energetica: sperimentalmente, la tensione di una membrana dipende dallo stato di allungamento areale e dunque dall’area S, mentre la tensione superficiale di un liquido, a temperatura fissata, è costante per una data composizione. Per caratterizzare in modo operativo la tensione elastica si adotta una definizione tramite lavoro elementare, analoga a quella impiegata per le superfici liquide in \tau = \frac{L}{|\Delta S|}:

\[ \tau(S) = \frac{\Delta L}{\Delta S}, \]

dove si considerano incrementi infinitesimi di lavoro e di area, e si esplicita la dipendenza \(\tau=\tau(S)\). Di conseguenza, l’energia potenziale associata alle forze di membrana non ha la forma semplice riportata in (U = -\tau S, dove S è l'area della superficie libera) per le superfici liquide; in generale, può essere scritta come integrale di stato, ad esempio \(U(S) = \int_{S_{0}}^{S} \tau(\xi)\, d\xi\), a indicare la natura non costante della tensione con la deformazione areale.

Il bilancio meccanico tra le forze di trazione di membrana e le forze di pressione conduce alla cosiddetta formula di Laplace, che lega la tensione e la differenza di pressione attraverso le curvature della superficie. Sebbene storicamente formulata per lamine liquide, la relazione si applica anche a membrane elastiche sottili, purché gli effetti di flessione siano trascurabili e lo sforzo sia puramente membranale.

Consideriamo un pallone sferico in equilibrio, di centro O e raggio r, sottoposto a una differenza di pressione \(\Delta p\) tra l’interno e l’esterno. Le azioni elastiche di membrana, tangenti alla superficie, hanno in ogni punto una componente diretta verso O (si veda il riferimento qualitativo) (Figura 03.08-01). La risultante di tali azioni su una calotta sferica è bilanciata dalla forza di pressione agente sulla medesima calotta. Dal bilancio si ottiene la forma sferica della relazione di Laplace:

\[ \Delta p = \frac{2\tau}{r}. \]

con la precisazione che, per una membrana elastica, la tensione non è in generale costante ma funzione dello stato di allungamento, e dunque del raggio: \(\tau=\tau(r)\). In tal caso, la (\Delta p = \frac{2 \tau}{r}) fornisce una condizione di equilibrio in forma implicita tra \(\Delta p\), r e la legge costitutiva \(\tau(r)\).

Se la superficie conserva una simmetria di rotazione diversa dalla sfera (ad esempio un ellissoide o un cilindro), la relazione si generalizza nella forma classica di Young–Laplace, che coinvolge i due raggi principali di curvatura \(R_{1}\) e \(R_{2}\):

\[\Delta p = \tau \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right),\]

dove le curvature principali sono quelle delle due sezioni ortogonali principali della superficie di rotazione (raggi rappresentati schematicamente nelle (Figura 03.08-02) e (Figura 03.08-03). Il caso cilindrico riveste notevole rilievo applicativo: per un tubo a parete sottile, una delle curvature è nulla \((R_{2}\to\infty)\), e si ottiene la forma ridotta:

\[\Delta p = \frac{\tau}{R},\]

con \(R=R_{1}\) raggio del cilindro. Questa approssimazione a parete sottile è frequentemente impiegata nello studio dell’equilibrio meccanico dei vasi sanguigni, con la cautela che tessuti biologici mostrano anisotropia, non linearità e dipendenza dallo spessore: la (\Delta p = \frac{\tau}{R}) descrive il contributo di trazione “circonferenziale” idealizzato in assenza di momenti flettenti.

La medesima struttura formale è valida per superfici liquide, nelle quali la “tensione” è la tensione superficiale, costante a temperatura fissata e per composizione data. In una bolla liquida, come una bolla di soluzione saponosa, esistono due interfacce sferiche (interna ed esterna) che contribuiscono entrambe al lavoro delle forze di superficie; ne risulta che, rispetto a una singola lamina, il salto pressorio raddoppia e la \Delta p = \frac{2 \tau}{r} diventa:

\[\Delta p = 4 \tau / r.\]

Per le membrane elastiche, la tensione è controllata dalla legge costitutiva che lega \(\tau\) alla deformazione areale. Una descrizione utile introduce il rapporto di allungamento superficiale \(\lambda_{A}=S/S_{0}\) (con \(S_{0}\) area di riferimento): modelli semplici assumono, ad esempio, \(\tau(\lambda_{A}) = k\,(\lambda_{A}-1)\) o relazioni non lineari più realistiche per materiali iperelastici sottili. L’equilibrio determinato dalla Young–Laplace impone quindi una relazione tra \(\Delta p\) e r attraverso \(\tau(r)\), che può produrre curve pressione–raggio non monotone tipiche dei palloncini elastomerici.

Osservazioni operative e esempi

• Membrana elastica vs. lamina liquida: nella prima \(\tau\) dipende dalla deformazione (funzione di S o r), nella seconda \(\tau\) è determinata dalla tensione superficiale del liquido e, a parità di condizioni, è costante;
• Geometria: la forma sferica porta a \(\Delta p = 2\tau/r\); per superfici a curvatura principale \((R_{1}, R_{2})\) si usa la forma generale \(\Delta p = \tau(1/R_{1}+1/R_{2})\); per un cilindro a parete sottile \(\Delta p = \tau/R\);
• Bolle liquide: presenza di due interfacce sferiche implica \(\Delta p = 4\tau/r\);
• Validità: le relazioni precedenti si applicano in regime di parete sottile, con sforzi puramente membranali e assenza di significativi effetti di flessione o spessore.

Esempio 1 (bolla liquida): si consideri una bolla sferica di raggio \(r = 2,0\) mm in una soluzione con tensione superficiale \(\tau = 0,030\) N/m. Allora il salto pressorio risulta \(\Delta p = 4\tau/r = 4 \times 0,030 / 0,002 = 60\) Pa.

Esempio 2 (condotto cilindrico ideale): per un tubo di raggio \(R = 1,5\) mm nel quale la trazione circonferenziale equivalente sia \(\tau = 0,24\) N/m, dalla (\Delta p = \frac{\tau}{R}) si ottiene \(\Delta p = \tau/R = 0,24/0,0015 \approx 160\) Pa. In un vaso reale, la distribuzione degli sforzi dipende anche dallo spessore e dalle proprietà anisotrope della parete, pertanto il valore ottenuto rappresenta un ordine di grandezza nella sola ipotesi di parete sottile.

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Tensione su superficie sferica

In ogni punto P di una superficie sferica le forze di tensione hanno una risultante non nulla diretta verso il centro della sfera.

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Ellissoide di rotazione

Ellissoide di rotazione in cui sono evidenziati i raggi delle sezioni principali.

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Ellissoide

Se uno dei due raggi principali dell'ellissoide diventa infinitamente grande, si ottiene un cilindro indefinito.

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