Le leggi della dinamica, attraverso l’introduzione della forza, stabiliscono un nesso di causalità tra l’evoluzione del moto e l’azione esterna sui corpi. In tale relazione la costante m, la massa, quantifica l’inerzia, ossia la resistenza alla variazione dello stato di moto. Posto un campo di forze noto nello spazio e nel tempo, il problema dinamico consiste nel determinare la legge oraria della posizione, risolvendo il problema di Cauchy associato all’equazione di Newton \( \mathbf{F} = m \mathbf{a} \) con opportune condizioni iniziali. Nei casi seguenti, illustriamo come, a partire dalla specificazione di \(\mathbf{F}\), si ottengano le espressioni esplicite della traiettoria e della legge temporale \( \mathbf{s} = \mathbf{s}(t) \).

Se la risultante delle forze è nulla in ogni punto dello spazio considerato, \( \mathbf{F} = \mathbf{0} \), allora l’accelerazione è zero, \(\mathbf{a} = \mathbf{0}\), e la velocità rimane costante nel tempo. Integrando si ricavano leggi di moto lineari rispetto a \(t\):

(3.1)

\[ x = x_{0} + v_{0x} t, \quad y = y_{0} + v_{0y} t, \quad z = z_{0} + v_{0z} t \]

Le costanti \(x_{0}, y_{0}, z_{0}\) sono le coordinate all’istante iniziale \(t = 0\), mentre \(v_{0x}, v_{0y}, v_{0z}\) sono le componenti della velocità iniziale. Le (3.1) descrivono la legge oraria \( \mathbf{s}(t) \) e, in forma parametrica, l’equazione di una retta nello spazio, che è la traiettoria del moto inerziale. È spesso comodo adottare un sistema cartesiano ortogonale con l’asse \(x\) allineato a \(\mathbf{v}_{0}\); in tal caso si ha:

\[ v_{0x} = v_{0}, \quad v_{0y} = v_{0z} = 0 \]

e quindi:

(3.2)

\[ x = x_{0} + v_{0} t \]

La (3.2) è la legge del moto rettilineo uniforme trattato in Cinematica. In questo quadro, anche la quantità di moto \(\mathbf{p} = m \mathbf{v}\) risulta costante.

Consideriamo ora un campo in cui la forza è costante in modulo, direzione e verso:

(3.3)

\[ \mathbf{F} = \mathbf{F}_{0} \]

Scegliamo il riferimento in modo che il moto sia confinato nel piano \(x\!-\!y\), con l’asse \(y\) orientato come \(\mathbf{F}_{0}\). La componente lungo \(y\) è un moto uniformemente accelerato con accelerazione \(a_{y} = F_{0}/m\), da cui:

(3.4)

\[ y = \frac{1}{2} \frac{F_{0}}{m} t^{2} + v_{0y} t + y_{0} \]

Lungo \(x\) si ottiene la stessa legge di moto che vale in assenza di forze, cfr. (2.6):

(3.5)

\[ x = x_{0} + v_{0x} t \]

Le (3.4) e (3.5) realizzano la legge oraria del moto uniformemente accelerato del corso di Cinematica. Eliminando \(t\) tra (3.4) e (3.5) si ottiene una traiettoria parabolica se \(v_{0x} \neq 0\), altrimenti una retta allineata a \(\mathbf{F}_{0}\). In sintesi:

• se \(v_{0x} = 0\), il moto è rettilineo lungo \(y\) con accelerazione costante;
• se \(v_{0x} \neq 0\), la curva \(y(x)\) è una parabola aperta nel verso di \(\mathbf{F}_{0}\).

Un caso fisico rilevante è la caduta di un corpo vicino alla superficie terrestre in assenza di resistenze, con \(\mathbf{F}_{0} = m \mathbf{g}\), dove \( \mathbf{g} \) è (approssimativamente) costante in modulo e direzione.

Consideriamo un campo monodimensionale lungo l’asse \(x\), nel quale la forza è proporzionale e opposta allo spostamento rispetto all’equilibrio:

\[ F = -k x \]

La costante \(k\) è la costante elastica (legge di Hooke), valida per piccole deformazioni attorno alla posizione di riposo. L’equazione del moto per una massa \(m\) soggetta a tale forza è:

\[ m a_{x} = -k x \]

Quando l’accelerazione è proporzionale allo spostamento con segno opposto, la soluzione generale è un moto armonico semplice, per esempio nella forma:

\[x = A \text{sen}(\omega t + \phi)\]

La costante \(\omega\) deve essere tale da soddisfare l’equazione del moto per ogni \(t\). Sostituendo (3.8) in (3.7) e utilizzando (2.16) per la derivazione temporale, si ottiene:

\[ - Am \omega^2 \text{sen} (\omega t + \phi) = - kA \text{sen} (\omega t + \phi) \]

da cui segue la condizione:

\[ \omega^{2} = \frac{k}{m}, \quad \text{cioè} \quad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \]

Le costanti \(A\) (ampiezza) e \(\phi\) (fase iniziale) dipendono dalle condizioni iniziali. Indicando \(x(0) = x_{0}\) e \(v(0) = v_{0}\), si ha \[ x_{0} = A \sin \phi, \quad v_{0} = A \omega \cos \phi, \] da cui si ricavano \(A\) e \(\phi\). La rappresentazione con il coseno è equivalente, a patto di modificare la fase di \(\pi/2\). Il periodo delle oscillazioni è \(T = 2 \pi / \omega\), mentre l’energia meccanica totale rimane costante e vale \(E = \tfrac{1}{2} k A^{2}\). Il moto armonico approssima in modo efficace le piccole oscillazioni di sistemi fisici in prossimità di una posizione di equilibrio stabile.