L’evoluzione temporale dei radionuclidi, naturali o prodotti artificialmente, segue una legge esponenziale, conseguenza del carattere aleatorio del processo di disintegrazione. In un intervallo di tempo sufficientemente piccolo, il numero di nuclei che decadono, \(\Delta n\), è proporzionale al numero di nuclei instabili presenti, \(n\). Nel limite differenziale ciò conduce all’equazione cinetica di primo ordine:

\(-\dfrac{\Delta n}{\Delta t} \propto n \quad \Rightarrow \quad -\dfrac{dn}{dt} = k\,n\), con \(k\) costante nel tempo e nel campione;

la cui soluzione fornisce la legge di decadimento:

\( \quad n(t) = n_0\, e^{-k t} \)

dove \(n_0\) è il numero di nuclei instabili all’istante iniziale \(t=0\). La costante \(k\) (spesso indicata anche con \(\lambda\) in letteratura) ha dimensioni di s\(^{-1}\) ed esprime la probabilità per unità di tempo che un singolo nucleo decada. Il reciproco di \(k\) definisce la vita media:

\( \quad \tau = \dfrac{1}{k} \quad \Rightarrow \quad n(t) = n_0\, e^{-t/\tau} \)

La formula mostra che il numero di nuclei non ancora disintegrati diminuisce esponenzialmente (Figura 07.17-01). In ambito clinico, ad esempio in medicina nucleare, \(n(t)\) rappresenta il numero di radionuclidi che ci si attende siano ancora presenti nell’organismo del paziente a distanza di un tempo \(t\) dall’iniezione, trascurando per il momento l’eliminazione biologica.

Per descrivere in modo intuitivo la velocità del decadimento si utilizza spesso il tempo di dimezzamento \(t_{1/2}\), definito come l’intervallo necessario affinché il numero di nuclei si riduca alla metà. Imponendo nella legge del decadimento esponenziale:

\[
\frac{n_0}{2} = n_0 \exp\!\left(-\frac{t_{1/2}}{\tau}\right)
\]

da cui, dividendo ambo i membri per \(n_0\), si ottiene:

\[
\exp\!\left(\frac{t_{1/2}}{\tau}\right) = 2
\]

ovvero, prendendo il logaritmo naturale:

\[
t_{1/2} = \tau \ln(2)
\]

 

Questa relazione mostra che il tempo di dimezzamento è proporzionale alla costante di tempo del processo di decadimento \(\tau\), ed è indipendente dal numero iniziale di nuclei presenti. E dunque:

\[\frac{t_{1/2}}{\tau} = \ln 2 = 0.693, \quad \text{ossia} \quad t_{1/2} = 0.693 \tau = \frac{0.693}{K}\]

Si definisce attività \(A\) di un campione il numero di disintegrazioni nell’unità di tempo. Poiché ogni nucleo decade con probabilità \(k\) per unità di tempo, si ha

\( \quad A(t) = k\,n(t) \)

dove \(n(t)\) è il numero di nuclei instabili ancora presenti al tempo \(t\). L’unità SI dell’attività è il becquerel (Bq), pari a un decadimento al secondo. In ambito storico e applicativo si usa talvolta il curie (Ci), definito come l’attività di 1 g di radio-226, pari a \(3{,}7 \times 10^{10}\) decadimenti/s, cioè \(3{,}7 \times 10^{10}\) Bq. Nella pratica si impiegano multipli e sottomultipli del Bq, ad esempio kBq e MBq.

Una rappresentazione grafica della riduzione per successivi dimezzamenti è riportata in (Figura 07.17-02). Le vite medie dei radionuclidi coprono intervalli estremamente ampi, da meno di un microsecondo a molti milioni di anni, con isotopi di fatto quasi stabili.

Proprietà, ipotesi e relazioni utili

• Indipendenza e memoria breve: il decadimento di ciascun nucleo è indipendente dagli altri e la legge esponenziale è priva di memoria, cioè la probabilità di decadere in un intervallo successivo non dipende da quanto tempo il nucleo è già esistito;
• Validità del modello: l’espressione \(n(t)=n_0 e^{-k t}\) assume che \(k\) sia costante nel tempo e che non vi siano processi esterni che rimuovano o aggiungano nuclei instabili al sistema;
• Attività nel tempo: ponendo \(A_0=k n_0\), segue \(A(t)=A_0 e^{-k t}\); in termini di \(t_{1/2}\), si può scrivere \(n(t)=n_0 \left(\tfrac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}\) e analogamente per \(A(t)\);
• Unità e conversioni: \([k] = \text{s}^{-1}\), \([\tau] = \text{s}\), \([A] = \text{s}^{-1}\); \(1\,\text{Ci} = 3{,}7 \times 10^{10}\,\text{Bq}\).

Esempio numerico

Si consideri un radionuclide con \(t_{1/2} = 6{,}0\) h e attività iniziale \(A_0 = 8{,}0\) MBq. Dopo \(t = 18\) h, l’attività attesa è

\[ A(t) = A_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}} = 8{,}0\,\text{MBq} \left(\frac{1}{2}\right)^{18/6} = 8{,}0\,\text{MBq} \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 1{,}0\,\text{MBq}. \]

La costante di decadimento vale \(k = \dfrac{\ln 2}{t_{1/2}} = \dfrac{0{,}693}{6{,}0\,\text{h}} \approx 0{,}116\,\text{h}^{-1}\) e la vita media è \(\tau = 1/k \approx 8{,}64\) h.

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Decadimento dei nuclei radioattivi nel tempo

Rappresentazione visiva dei decadimenti di nuclei radioattivi dopo 10 tempi di dimezzamento: il numero di radionuclidi è ridotto di 2¹⁰ = 1024.

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