Forza di Lorentz e moto di una particella carica in un campo magnetico uniforme
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Definizione
La forza esercitata da un campo magnetico su un conduttore percorso da corrente, descritta dalla legge di Laplace (\mathbf{F} = \Delta \boldsymbol{\ell} i_2 \wedge \mathbf{B}), trova un’analoga espressione per una singola carica elettrica in movimento. Una carica \(q\) che si muove con velocità \(\mathbf{v}\) può infatti essere interpretata come una corrente che scorre lungo la traiettoria della particella. La generalizzazione naturale della \mathbf{F} = \Delta \boldsymbol{\ell} i_2 \wedge \mathbf{B} è la cosiddetta forza di Lorentz, che esprime l’azione del campo magnetico \(\mathbf{B}\) sulla carica in moto.
\[\mathbf{F} = q \mathbf{v} \land \mathbf{B}.\]
Per le proprietà del prodotto vettoriale, \(\mathbf{F}\) è sempre ortogonale a \(\mathbf{v}\) (Figura 07.03-01), e si annulla quando \(\mathbf{v}\) è parallela o antiparallela a \(\mathbf{B}\). Il verso della forza è determinato dalla regola della mano destra e cambia con il segno di \(q\): una carica negativa sperimenta una forza opposta rispetto a una carica positiva con la stessa velocità.
Consideriamo ora il moto di una particella di massa \(m\) e carica \(q\) in un campo magnetico uniforme. Esaminiamo anzitutto il caso in cui la velocità iniziale sia perpendicolare a \(\mathbf{B}\). Dalla \mathbf{F} = q \mathbf{v} \wedge \mathbf{B}. e dalla rappresentazione in (Figura 07.03-01) si deduce che la componente tangenziale della forza è nulla, mentre la componente normale, responsabile della curvatura della traiettoria, ha modulo \(q\,v\,B\):
\[F_T = ma_T = 0,\]
\[F_N = ma_N = \frac{m v^2}{R} = qvB.\]
Le relazioni identificano un moto circolare uniforme, con raggio \(R\) e frequenza angolare \(\omega\) dati da:
\[R = \frac{m v}{q B}\]
\[\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{v}{R} = \frac{q B}{m},\]
Nel caso perpendicolare, dunque, la particella percorre un’orbita circolare di raggio proporzionale alla quantità di moto \(m v\) e inversamente proporzionale al prodotto \(|q|B\). Il verso di rotazione dipende dal segno di \(q\). La frequenza ciclotronica \(\omega\) non dipende né dalla velocità né dal raggio, ma solo dal rapporto \(|q|/m\) e dall’intensità del campo:
- Poiché \(\mathbf{F}\) è sempre perpendicolare a \(\mathbf{v}\), la potenza istantanea \(P = \mathbf{F}\cdot \mathbf{v}\) è nulla in ogni istante; il campo magnetico non compie lavoro e l’energia cinetica \(\tfrac{1}{2} m v^2\) resta costante;
- La frequenza e il periodo del moto circolare uniforme sono indipendenti da \(v\) e da \(R\); di conseguenza, tutte le particelle con identico rapporto carica/massa \(|q|/m\) hanno lo stesso periodo (o la stessa frequenza) in un dato \(B\).
Se la velocità iniziale non è perfettamente perpendicolare al campo, la componente di \(\mathbf{v}\) parallela a \(\mathbf{B}\) rimane costante, mentre la componente perpendicolare produce il moto circolare già descritto. La traiettoria complessiva è quindi un’elica con passo fissato dalla velocità parallela e con raggio determinato dalla velocità perpendicolare: \(R = m v_\perp / (|q| B)\), \(\omega = |q| B / m\).
Esempio numerico. Elettrone in \(B = 0,50\ \text{T}\) con \(v = 3,0 \times 10^6\ \text{m s}^{-1}\). Con \(m_e = 9,11 \times 10^{-31}\ \text{kg}\) e \(|q_e| = 1,60 \times 10^{-19}\ \text{C}\) si ottiene: \[ R = \frac{m_e v}{|q_e| B} \approx 3,4 \times 10^{-5}\ \text{m}, \quad \omega = \frac{|q_e| B}{m_e} \approx 8,8 \times 10^{10}\ \text{rad s}^{-1}, \quad T = \frac{2\pi}{\omega} \approx 7,2 \times 10^{-11}\ \text{s}. \] Il raggio dell’orbita è quindi dell’ordine di decine di micrometri e il periodo è dell’ordine di decine di picosecondi.
L’evidenza sperimentale degli effetti della forza di Lorentz sulle particelle cariche, inclusa la curvatura delle traiettorie e la selezione in frequenza, è illustrata nella (Figura 07.03-02).
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