Campo elettrico e potenziale elettrostatico
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Definizione
Si consideri una carica sorgente Q e una carica di prova q, positiva, puntiforme e di modulo trascurabile rispetto a |Q|. La presenza di Q modifica lo spazio circostante generando una distribuzione di forze che agiscono su q in qualunque punto essa venga collocata; si parla, dunque, di un campo di forze elettriche, ovvero di un campo vettoriale associato a Q, come suggerito in (Figura 06.03-01). Per definizione, l’intensità del campo elettrico è il vettore:
\[\mathbf{E}=\frac{\mathbf{F}}{q}\]
dove \(\mathbf{F}\) è la forza che agisce sulla carica esploratrice q. Le dimensioni fisiche sono \([M L T^{-2} Q^{-1}]\) e l’unità SI è il newton per coulomb (N·C⁻¹). In un punto P, la direzione di \(\mathbf{E}\) coincide con quella della forza esercitata su q; il verso è lo stesso della forza se q è positiva (Figura 06.03-01).
In virtù della legge di Coulomb (\mathbf{F} = K \frac{q_1 q_2}{r^2} \left( \frac{\mathbf{r}}{r} \right)), il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q, immersa in un mezzo con permittività \(\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r\), assume la forma:
\[
\mathbf{E}(\mathbf{r})=
\frac{1}{4\pi\,\varepsilon_0\,\varepsilon_r}\,
\frac{Q}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}}
= \frac{1}{4\pi\,\varepsilon_0\,\varepsilon_r}\,
\frac{Q\,\mathbf{r}}{r^3}
\]
dove \(\mathbf{r}/r\) è il versore radiale che individua la direzione del campo. In presenza di più sorgenti, il campo totale è la somma vettoriale dei contributi delle singole cariche, come illustrato dalle linee di forza in (Figura 06.03-02). Se il campo non dipende dal tempo, si parla di campo elettrostatico.
Il campo elettrostatico è conservativo: il lavoro compiuto lungo una qualunque traiettoria dipende solo dagli estremi. L’energia potenziale di una carica q in un campo coulombiano prodotto da una carica puntiforme Q risulta:
\[ U(r) = \frac{Q q}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} \cdot \frac{1}{r} \]
ossia è inversamente proporzionale alla distanza r tra le due cariche. Il potenziale elettrico nel punto P è definito come il rapporto tra l’energia potenziale U della carica q posta in P e la carica stessa:
\[V=\frac{U}{q}\]
Per una singola carica puntiforme Q (potenziale di monopolo), dalle (U(r) = \frac{Q q}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r} \frac{1}{r}) e (V = \frac{U}{q}) segue:
\[V(r)=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_o\varepsilon_r}\cdot\frac{1}{r}\]
La differenza di potenziale elettrico (d.d.p.) tra due punti A e B è il lavoro, cambiato di segno, che il campo effettua per trasportare una carica positiva unitaria da A a B:
\[\Delta V=V_B-V_A=-\frac{L_{AB}}{q}\]
Assumendo come riferimento il punto all’infinito e ponendo \(V_B = 0\), si ottiene:
\[-V_A=-\frac{L_{A\infty}}{q},\text{ da cui }V_A=\frac{L_{A\infty}}{q},\]
cioè il potenziale nel punto A coincide con il lavoro compiuto dal campo per condurre una carica positiva unitaria da A all’infinito. L’unità SI della d.d.p. è il volt (V), pari a joule per coulomb (J·C⁻¹). Strumenti quali elettrometri e voltmetri misurano differenze di potenziale.
Per descrivere fenomeni su scala atomica si introduce l’elettron-volt (eV), definito come il lavoro compiuto su una carica pari a quella elementare e nel passaggio attraverso 1 V: con \(e = 1,6\cdot10^{-19}\) C si ha \(1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\) J.
Il legame tra campo elettrico e potenziale si ottiene ricordando che il lavoro elementare è \(\mathrm{d}L = \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}\). Se lo spostamento \(\Delta r\) è collineare a \(\mathbf{E}\), usando (\mathbf{E} = \frac{\mathbf{F}}{q}) e (-V_A = - \frac{L_{A\infty}}{q}, \quad \text{da cui} \quad V_A = \frac{L_{A\infty}}{q}) si ricava:
\[L=qE\Delta r=-q\Delta V,\]
da cui:
\[E=-\frac{\Delta V}{\Delta r}\]
Conseguentemente, il campo può essere espresso anche in volt su metro (V·m⁻¹) oltre che in newton su coulomb. In generale, per percorsi arbitrari vale la relazione integrale \(\Delta V = - \int_A^B \mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}\), e nella forma locale \(\mathbf{E} = - \nabla V\). Le superfici equipotenziali sono ovunque ortogonali a \(\mathbf{E}\).
Il potenziale consente una trattazione scalare del problema, evitando la gestione esplicita dei vettori, ed è particolarmente utile per campi generati da più cariche: in tal caso, il potenziale in un punto è la somma algebrica dei potenziali dovuti alle singole sorgenti (principio di sovrapposizione). Per completezza, si ricorda che nel vuoto \(\varepsilon_r = 1\), mentre nei materiali dielettrici \(\varepsilon_r > 1\) e la presenza del mezzo riduce l’intensità del campo rispetto al vuoto a parità di carica sorgente:
- Il campo elettrostatico è conservativo, quindi il lavoro su circuiti chiusi è nullo e \(\nabla \times \mathbf{E} = \mathbf{0}\);
- Il potenziale è definito a meno di una costante additiva; fissare \(V(\infty)=0\) determina un riferimento naturale per distribuzioni di carica localizzate;
- Le linee del campo escono dalle cariche positive ed entrano nelle negative; le superfici equipotenziali risultano perpendicolari a tali linee;
- In presenza di distribuzioni continue di carica con densità \(\rho(\mathbf{r})\), si possono utilizzare le forme integrali: \(\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r}\int \rho(\mathbf{r}') \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}\,\mathrm{d}\tau'\) e \(V(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon_r}\int \frac{\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\,\mathrm{d}\tau'\);
- Le grandezze misurabili includono: differenza di potenziale (voltmetri/elettrometri), campo elettrico (N·C⁻¹ o V·m⁻¹), energia e lavoro (joule, con la scala alternativa in eV).
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