Luce, struttura atomica e atomo di Bohr
Definizione
02.03 - Luce, struttura atomica e atomo di Bohr
Il modello di Rutherford descrive l’atomo come un nucleo piccolissimo, denso e positivamente carico, che contiene i protoni ed è circondato da elettroni. La disposizione degli elettroni attorno al nucleo, tuttavia, non era ancora stata definita con precisione. Per chiarire come gli elettroni si organizzano e interagiscono tra loro e con il nucleo, è utile spostare l’attenzione dalla misura di posizioni e distanze, inapplicabile su scale dell’ordine di \(10^{-9}\,\mathrm{m}\), alla misura delle energie. In particolare, l’informazione ricavata dall’assorbimento e dall’emissione di luce da parte degli atomi si rivela decisiva: lo studio sistematico di questi processi prende il nome di spettroscopia.
In senso ampio, la luce è una forma di radiazione elettromagnetica che si propaga nello spazio sotto forma di onde. La sorgente più familiare è il Sole: la luce solare bianca può essere scomposta nei suoi colori costituenti, come nell’arcobaleno o facendo passare il fascio attraverso un prisma di vetro (Figura 02.03-01). I diversi colori corrispondono a differenti lunghezze d’onda. Una radiazione elettromagnetica può essere descritta da onde sinusoidali; la lunghezza d’onda \(\lambda\) è la distanza tra due punti equivalenti di due creste successive, mentre la frequenza \(\nu\) indica quante oscillazioni avvengono in un secondo. Tra queste grandezze vale la relazione fondamentale
\[\;c=\lambda\nu,\;\]
dove \(c\) è la velocità della luce nel vuoto, pari a \(3{,}00\times 10^{8}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\) nel Sistema Internazionale (SI). Sebbene tutte le lunghezze d’onda si propaghino con la stessa velocità nel vuoto, i fotoni associati a frequenze diverse possiedono energie differenti, legate dalla relazione di Planck
\[\;E=h\nu=\dfrac{hc}{\lambda},\;\]
in cui \(h\) è la costante di Planck. Ne consegue che energia e lunghezza d’onda sono inversamente proporzionali: a lunghezze d’onda più corte corrispondono energie maggiori.
L’insieme di tutte le radiazioni elettromagnetiche costituisce lo spettro elettromagnetico (Figura 02.03-02), convenzionalmente suddiviso in regioni con proprietà caratteristiche, come onde radio, microonde, infrarosso, visibile, ultravioletto, raggi X e raggi \(\gamma\). Alcune di queste regioni ci sono familiari per usi quotidiani: ad esempio, le microonde negli apparecchi domestici o la luce visibile percepita dall’occhio umano.
Un modo semplice per evidenziare l’interazione tra atomi e luce consiste nell’osservare un gas raro in un tubo a scarica: applicando una differenza di potenziale tra due elettrodi in un tubo sotto vuoto parziale, il gas emette radiazione a precise lunghezze d’onda. Il risultato è uno spettro a righe, cioè un insieme discreto di lunghezze d’onda caratteristiche dell’elemento presente (Figura 02.03-03). Gas diversi, come idrogeno ed elio, mostrano spettri di emissione diversi. La spiegazione di questi spettri discreti fu proposta da Niels Bohr.
Bohr postulò che gli elettroni possano occupare soltanto determinati livelli di energia attorno al nucleo, organizzati in una serie di stati ben definiti. Nel suo modello originario, ciascun livello corrisponde a un’orbita circolare a distanza specifica dal nucleo: si parla di quantizzazione dell’energia, perché solo alcune energie sono permesse. Quando un atomo assorbe energia, un elettrone può passare da un’orbita interna, a energia più bassa, a un’orbita più esterna, a energia più alta: l’atomo si trova allora in uno stato eccitato. Il processo inverso, detto rilassamento, comporta il ritorno a un livello più basso con l’emissione di un fotone di energia pari alla differenza tra i due livelli:
\[\;\Delta E = E_\text{alto}-E_\text{basso}=h\nu=\dfrac{hc}{\lambda}.\;\]
La radiazione emessa in queste transizioni dà luogo a righe spettrali a lunghezze d’onda ben determinate (Figura 02.03-04). Lo stato a energia minima è detto stato fondamentale. Nel modello di Bohr gli stati sono indicati da un numero intero \(n=1,2,3,\dots\), chiamato numero quantico principale: al crescere di \(n\) aumentano energia e distanza media dal nucleo. Per l’idrogeno, l’insieme delle transizioni che terminano in \(n=2\) cade nel visibile e produce quattro righe ben note dello spettro elettromagnetico.
Per l’atomo di idrogeno il modello di Bohr consente anche di esprimere i livelli di energia come
\[\;E_n=-\dfrac{R_\mathrm{H}hc}{n^2}=-\dfrac{13{,}6\ \mathrm{eV}}{n^2},\;\]
dove \(R_\mathrm{H}\) è la costante di Rydberg per l’idrogeno e eV indica l’elettronvolt. La differenza tra due livelli fornisce direttamente l’energia del fotone assorbito o emesso.
In sintesi, l’impianto concettuale del modello di Bohr si può organizzare come segue:
- gli atomi scambiano energia con la radiazione mediante promozioni a livelli più alti ed emissioni durante il ritorno a livelli più bassi;
- solo alcuni livelli energetici sono consentiti; le transizioni tra livelli permessi generano righe spettrali a singola lunghezza d’onda;
- i livelli consentiti sono etichettati dal numero quantico principale \(n\); livelli con \(n\) maggiore sono più energetici e più distanti dal nucleo;
- le lunghezze d’onda osservate permettono di ricavare le differenze energetiche tra i livelli, tramite \(\Delta E=hc/\lambda\).
(Figura 02.03-04) illustra schematicamente l’eccitazione, il rilassamento e lo stato fondamentale.
Esercizio. Un campione di idrogeno emette una riga a lunghezza d’onda \(\lambda\approx 656\,\mathrm{nm}\) (regione visibile). Assumendo il modello di Bohr, determinare la differenza di energia tra i livelli coinvolti e identificare la transizione più probabile.
Svolgimento. Si ha \(\Delta E=hc/\lambda\). Con \(h=6{,}626\times 10^{-34}\,\mathrm{J\,s}\), \(c=3{,}00\times 10^{8}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\) e \(\lambda=656\times 10^{-9}\,\mathrm{m}\):
\[\;\Delta E\simeq \dfrac{(6{,}626\times 10^{-34})(3{,}00\times 10^{8})}{656\times 10^{-9}}\approx 3{,}03\times 10^{-19}\,\mathrm{J}\approx 1{,}89\,\mathrm{eV}.\;\]
Nel modello di Bohr per l’idrogeno \(\Delta E=13{,}6\,\mathrm{eV}\,\bigl(\tfrac{1}{n_\text{basso}^2}-\tfrac{1}{n_\text{alto}^2}\bigr)\). La differenza di circa \(1{,}89\,\mathrm{eV}\) corrisponde alla transizione \(n=3\to n=2\), che appartiene alla serie di Balmer e cade nel rosso del visibile.
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Il modello di Bohr ha rappresentato un progresso decisivo perché ha collegato la struttura energetica dell’atomo agli spettri a righe mediante l’ipotesi di livelli energetici principali quantizzati. Tuttavia, i suoi limiti emersero presto: se da un lato descrive con buona accuratezza molte proprietà dell’idrogeno, dall’altro risulta inadeguato per atomi con più elettroni e non incorpora finezze sperimentali neppure per l’idrogeno, come le strutture fini e gli effetti di spin.
La formulazione moderna sostituisce l’idea di orbite rigide con una descrizione probabilistica: non si parla di traiettorie definite degli elettroni attorno al nucleo, ma di distribuzioni di probabilità di presenza in regioni di spazio, chiamate orbitali atomici. La densità elettronica, spesso visualizzata come una “nuvola” più densa dove la probabilità di trovare l’elettrone è maggiore, è funzione dei numeri quantici che caratterizzano l’orbitale. I livelli energetici principali si suddividono in sottolivelli (per esempio s, p, d, f), ciascuno con forma e degenerazione proprie. Questa visione, coerente con la meccanica quantistica, conserva l’idea di livelli energetici principali di Bohr ma abbandona il vincolo di orbite fisse, offrendo una base robusta per interpretare legami chimici e proprietà periodiche degli elementi.
